Determine as derivadas parciais da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm mais de uma variável, usando regras de derivação básicas como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é uma função exponencial onde o expoente depende de
e
. Quando a gente deriva uma função exponencial como essa, usamos a regra da cadeia.
Então, a derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é:
Porque a derivada de
é
e
é tratado como uma constante em relação a
.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A abordagem é a mesma que usamos para
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 6
Calculando
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e