Determine as derivadas parciais da função:
z=e^-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função z = e^-x^2-y^2 . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm mais de uma variável, usando regras de derivação básicas como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x . A função z é uma função exponencial onde o expoente depende de x e y . Quando a gente deriva uma função exponencial como essa, usamos a regra da cadeia.
Então, a derivada de e^u em relação a x é e^u cdot dudx , onde u = -x^2 - y^2 .

Passo 3

Vamos calcular dudx . Como u = -x^2 - y^2 , a derivada de u em relação a x é:
dudx = -2x
Porque a derivada de -x^2 é -2x e y^2 é tratado como uma constante em relação a x .

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
partial zpartial x = e^-x^2-y^2 cdot (-2x) = -2x , e^-x^2-y^2

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a y , ou seja, partial zpartial y . A abordagem é a mesma que usamos para x .
Primeiro, a derivada de e^u em relação a y é e^u cdot dudy , onde u = -x^2 - y^2 .

Passo 6

Calculando dudy :
dudy = -2y
Aqui, -x^2 é tratado como uma constante em relação a y .

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia novamente:
partial zpartial y = e^-x^2-y^2 cdot (-2y) = -2y , e^-x^2-y^2

Resposta

As derivadas parciais da função z = e^-x^2-y^2 são:
partial zpartial x = -2x , e^-x^2-y^2
e
partial zpartial y = -2y , e^-x^2-y^2

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