Mostrar que os limites seguintes não existem:
lim (x, y) (0,0) x^6+x^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
lim(x,y)to(0,0) x^6+x^2x^2+y^2
Como estamos em duas variáveis, se esse limite existisse teria que ser o mesmo ao aproximar (x,y) por qualquer caminho. Vamos usar o método das trajetórias para comparar resultados em diferentes retas que passam pela origem.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Substituindo em x^6+x^2x^2+y^2 obtemos
x^6+x^2x^2+0^2 =x^6+x^2x^2 =x^4+1
Quando xto0, temos x^4+1to1. Logo ao longo de y=0 o limite vale 1.

Passo 3

Agora considere a família de retas y= m,x, com mneq0 fixo. Então
x^6+x^2x^2+y^2 =x^6+x^2x^2+m^2x^2 =x^6+x^2x^2(1+m^2) =1+x^41+m^2
Ao fazer xto0 nessa trajetória, o quociente tende a 11+m^2, que depende de m.

Passo 4

Nosso cálculo mostra que
  • pela reta y=0 o limite é 1;
  • pela reta y=mx o limite é tfrac11+m^2, diferente de 1 sempre que mneq0.
Como obtivemos valores diferentes ao longo de caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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