Mostrar que os limites seguintes não existem:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
Como estamos em duas variáveis, se esse limite existisse teria que ser o mesmo ao aproximar
por qualquer caminho. Vamos usar o método das trajetórias para comparar resultados em diferentes retas que passam pela origem.
Passo 2
Considere a trajetória
. Substituindo em
obtemos
Quando
, temos
. Logo ao longo de
o limite vale
.
Passo 3
Agora considere a família de retas
, com
fixo. Então
Ao fazer
nessa trajetória, o quociente tende a
, que depende de
.
Passo 4
Nosso cálculo mostra que
- pela reta
o limite é ; - pela reta
o limite é , diferente de sempre que .
Como obtivemos valores diferentes ao longo de caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.