(1.5) Calcule o limite
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de limites no cálculo, onde queremos entender o comportamento de uma função quando a variável
cresce sem limites. Para resolver, vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como as funções se comportam para valores muito grandes de
.
Passo 2
Primeiro, observamos a expressão
. Quando
é muito grande, o termo
domina o
, então a raiz quadrada se aproxima de
. No entanto, queremos calcular a diferença entre
e
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão pela conjugada, ou seja,
:
Passo 4
Ao multiplicar, usamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Isso é possível porque
.
Passo 6
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Portanto, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 7
Substituindo na expressão, temos:
Resposta
O limite é
.