(1.5) Calcule o limite
lim x infty raiz9 x^2+4 x-3 x

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x infty raiz9 x^2+4 x-3 x. Esse tipo de problema pertence ao estudo de limites no cálculo, onde queremos entender o comportamento de uma função quando a variável x cresce sem limites. Para resolver, vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como as funções se comportam para valores muito grandes de x.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão raiz9x^2 + 4x. Quando x é muito grande, o termo 9x^2 domina o 4x, então a raiz quadrada se aproxima de raiz9x^2 = 3x. No entanto, queremos calcular a diferença entre raiz9x^2+4x e 3x.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão pela conjugada, ou seja, raiz9x^2+4x + 3x:
lim x infty ( raiz9x^2+4x - 3x ) times raiz9x^2+4x + 3xraiz9x^2+4x + 3x

Passo 4

Ao multiplicar, usamos a diferença de quadrados:
(raiz9x^2+4x)^2 - (3x)^2 = 9x^2+4x - 9x^2 = 4x
Então, a expressão fica:
lim x infty 4xraiz9x^2+4x + 3x

Passo 5

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por x:
lim x infty 4raiz9 + 4x + 3
Isso é possível porque raiz9x^2+4x = xraiz9 + 4x.

Passo 6

Quando x tende ao infinito, 4x tende a zero. Portanto, a expressão dentro da raiz fica:
raiz9 + 0 = raiz9 = 3

Passo 7

Substituindo na expressão, temos:
43 + 3 = 46 = 23

Resposta

O limite é 23.

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