(1.0) A equação (8) admite alguma solução no intervalo [0,2]?
x^5+x^2=1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pergunta se a equação x^5 + x^2 = 12 tem alguma solução no intervalo [0, 2]. Para isso, vamos usar conceitos de funções e o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar se uma função atinge certos valores em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite nossa análise. Subtraindo 12 de ambos os lados, temos:
f(x) = x^5 + x^2 - 12
Agora, queremos saber se existe algum valor de x no intervalo [0, 2] que faz f(x) = 0.

Passo 3

Vamos calcular o valor de f(x) nas extremidades do intervalo.
Para x = 0:
f(0) = 0^5 + 0^2 - 12 = 0 + 0 - 12 = -12
Para x = 2:
f(2) = 2^5 + 2^2 - 12 = 32 + 4 - 12 = 35.5

Passo 4

Observamos que f(0) = -12 e f(2) = 35.5. Como esses valores têm sinais opostos (um negativo e outro positivo), segundo o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de x no intervalo [0, 2] onde f(x) = 0.

Resposta

Sim, a equação x^5 + x^2 = 12 admite pelo menos uma solução no intervalo [0, 2].

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