Use critério da raiz para estudar a convergência das séries
sumn=0^infty n^34^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^inftyn^34^n
usando o critério da raiz. Vamos aplicar o teste da raiz, que diz para calcular
L = limsupntoinftyraiz[n]|n^34^n|

Passo 2

Escrevemos a expressão dentro da raiz enésima:
raiz[n]|n^34^n| =raiz[n]n^3raiz[n]4^n =n^3/n4

Passo 3

Analisamos o fator n^3/n. Usamos o fato de que
limntoinftyn^1/n=1,
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limntoinftyn^3/n =l(limntoinftyn^1/nr)^3 =1^3=1

Passo 4

Portanto,
L = limntoinftyn^3/n4 =14
Como L=tfrac14<1, o critério da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da raiz, pois
limsupntoinftyraiz[n]n^34^n =14<1

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