Use critério da comparação para estudar a convergência das séries
sumn=0^infty 45 n^2+3 n+2

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
sumn=0^infty 45n^2 + 3n + 2
e pede para estudar sua convergência usando o critério de comparação. Vamos comparar com uma p-série, pois para grandes n o termo geral se comporta como 1/n^2.

Passo 2

Para aplicar o critério de comparação, note que para todo n>=1 vale
5n^2 + 3n + 2 >= 5n^2
Logo, para n>=1 temos
45n^2 + 3n + 2 <= 45n^2 = 45,1n^2

Passo 3

Sabemos que a p-série
sumn=1^infty 1n^2
converge porque 2>1. Então a série
sumn=1^infty 45,1n^2
também converge (é um múltiplo da p-série).

Passo 4

Pelo critério da comparação, como
45n^2+3n+2<=45,1n^2 para n>=1 e a série maior converge, concluímos que
sumn=1^infty 45n^2+3n+2
converge. O termo de índice n=0 é finito, não afetando a convergência do restante da série.

Resposta

A série sumn=0^infty45n^2+3n+2 converge por comparação com a p-série de expoente 2.

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