Calcule o limite.
limt 0 ( tsin t i + tan^-1 t j + sin 2t k )

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função vetorial r(t) quando tto0, onde
r(t)=tsin t,i+tan^-1t,j+sin(2t),k
Vamos usar que o limite de uma função vetorial se faz componente a componente, e aplicar limites padrão.

Passo 2

Para a componente em i, usamos o limite clássico
limtto0sin tt=1
que implica
limtto0tsin t = 1

Passo 3

Para a componente em j, lembramos que tan^-1t tem expansão tan^-1tsim t perto de zero. Logo,
limtto0tan^-1t = 0

Passo 4

Para a componente em k, usamos que sin usim u perto de zero, com u=2t. Assim,
limtto0sin(2t) = 0

Passo 5

Juntando os resultados das três componentes, o limite vetorial é
1,i + 0,j + 0,k = i

Resposta

i

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