Classificar as E.D.O em lineares ou não lineares e dê a ordem de cada equação:
x y prime prime prime prime-4 x y prime+2 x y=cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x,y^(4) - 4x,y' + 2x,y = cos x
e pede para classificar se é linear ou não linear e determinar a ordem. Aqui vamos usar a definição de linearidade de EDO e identificar qual é a maior derivada.

Passo 2

Primeiro, note que podemos escrever a equação como
x,y^(4) + (-4x),y' + (2x),y = cos x
Isso mostra que cada termo é do tipo coeficiente em x multiplicando y ou alguma derivada de y, e o termo à direita é uma função apenas de x.

Passo 3

Uma EDO é linear se todos os termos que envolvem y e suas derivadas aparecem de forma linear (isto é, sem produtos entre elas nem funções não lineares de y). Aqui os termos são
;x,y^(4),;-4x,y',;2x,y
nenhum deles contém produto entre derivadas de y ou potências de y, e os coeficientes dependem apenas de x. Logo, é uma EDO linear.

Passo 4

A ordem de uma EDO é dada pelo maior número de derivadas que aparece. Neste caso o termo de maior orden é y^(4), que é a quarta derivada de y. Portanto, a equação é de ordem 4.

Resposta

A equação diferencial é linear de ordem 4.

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