Considere a função definida por
f(t, x)=ln (k t-x)
onde k é uma constante.
  • Determine a direção para a qual a derivada direcional Dv f(0,-e) é máxima.
  • Mostrar que
partialt^2 f(t, x)=k^2 partialx^2 f(t, x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t,x)=ln(kt-x)
com k constante, e pede duas coisas:
  1. A direção v em que a derivada direcional Dvf(0,-e) é máxima.
  2. Mostrar que
partialt^2f(t,x)=k^2,partialx^2f(t,x)
Para isso vamos usar o gradiente para a derivada direcional e calcular derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
partialtf(t,x) =partialpartial tln(kt-x) =kkt-x,
partialxf(t,x) =partialpartial xln(kt-x) =-1kt-x
Logo o gradiente é
nabla f(t,x) =l(kkt-x,,-1kt-xr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em (0,-e). Aqui kt-x = kcdot0-(-e)=e, logo
nabla f(0,-e) =l(tfracke,,-tfrac1er)
Sabendo que
Dvf(0,-e)=nabla f(0,-e)cdot v
é máximo quando v é unitário e paralelo a nabla f(0,-e). Assim a direção de máximo é
v =nabla f(0,-e)|nabla f(0,-e)| =l(tfracke,-,tfrac1er)raizl(tfracker)^2+l(-tfrac1er)^2 =(k,-1)raizk^2+1

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
partialt^2f(t,x) =partialpartial tl(kkt-xr) =-k^2(kt-x)^2,
partialx^2f(t,x) =partialpartial xl(-1kt-xr) =-1(kt-x)^2
Daí imediatamente
partialt^2f(t,x) =-k^2(kt-x)^2 =k^2,l(-1(kt-x)^2r) =k^2,partialx^2f(t,x)

Resposta

A direção em que Dvf(0,-e) é máxima é
v=(k,-1)raizk^2+1,
e de fato
partialt^2f(t,x)=k^2,partialx^2f(t,x)

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