Considere a função definida por
onde
é uma constante.
- Determine a direção para a qual a derivada direcional
é máxima.
- Mostrar que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
constante, e pede duas coisas:
- A direção
em que a derivada direcional é máxima. - Mostrar que
Para isso vamos usar o gradiente para a derivada direcional e calcular derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Logo o gradiente é
Passo 3
Avaliar o gradiente em
. Aqui
, logo
Sabendo que
é máximo quando
é unitário e paralelo a
. Assim a direção de máximo é
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Daí imediatamente
Resposta
A direção em que
é máxima é
e de fato