Calcule o limite

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)arctan(x+y)-(x+y)raizx^2+y^2
Isso é um limite de função de duas variáveis em torno da origem. Para analisar, vamos usar a expansão de Taylor (Maclaurin) de arctan t em torno de t=0.

Passo 2

Defina t = x+y. Como (x,y)to(0,0), temos tto0. A expansão de Taylor de arctan t até a ordem t^3 é
arctan t = t - t^33 + o(t^3)
Logo,
arctan(x+y) - (x+y) = l(t - t^33 + o(t^3)r) - t = -,t^33 + o(t^3)

Passo 3

Substituindo no quociente original, obtemos
arctan(x+y)-(x+y)raizx^2+y^2 = -(x+y)^33 + ol((x+y)^3r)raizx^2+y^2
Em módulo, para rho = raizx^2+y^2, vale
|-(x+y)^3/3rho| <= 13,|x+y|^3rho <= 13,(,|x|+|y|,)^3rho <= 13,(2rho)^3rho = 83,rho^2

Passo 4

Como rho to 0 implica rho^2to 0, o termo dominante tende a zero. O resto ol((x+y)^3r)/rho também tende a zero mais rápido. Portanto o quociente todo vai a zero.

Resposta

0

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