Seja
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(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície
com o plano
, no ponto
.
(b) Determine a equação de um plano que é paralelo ao plano
e tangente ao gráfico da
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(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície
(b) Determine a equação de um plano que é paralelo ao plano
Passo 1
Estamos com a superfície definida por f(x,y)=x²+y² e precisamos resolver dois problemas: (a) achar a inclinação da reta tangente à curva de interseção de z=f(x,y) com o plano y=1 no ponto P=(2,1); (b) achar um plano paralelo a z=2x+y que seja tangente ao gráfico de f.
Passo 2
Para (a), fixamos y=1 e vemos que a curva de interseção no espaço é descrita por z como função de x. Logo, definimos
Passo 3
Aplicamos a derivada de z em relação a x para achar a inclinação da projeção no plano xz:
Passo 4
Avaliando em x=2 obtemos
Passo 5
Assim, a reta tangente tem inclinação 4 na direção x, e no espaço seu vetor-diretor é (1,0,4).
Passo 6
Para (b), lembramos que um plano paralelo a z=2x+y tem normal n=(2,1,-1) (pois 2x+y−z=0). O plano tangente ao gráfico de f em (a,b) tem normal dado por N=(−f_x(a,b),−f_y(a,b),1).
Como f_x=2x e f_y=2y, temos N=(−2a,−2b,1). Para que N seja paralelo a n, existe μ tal que
Como f_x=2x e f_y=2y, temos N=(−2a,−2b,1). Para que N seja paralelo a n, existe μ tal que
Passo 7
Igualando componentes:
Passo 8
Daí μ=−1, logo a=1 e b=1/2.
O valor de f(1,1/2)=12+(1/2)2=5/4 e os gradientes são f_x(1,1/2)=2, f_y(1,1/2)=1. Assim o plano tangente é
O valor de f(1,1/2)=12+(1/2)2=5/4 e os gradientes são f_x(1,1/2)=2, f_y(1,1/2)=1. Assim o plano tangente é
Passo 9
Simplificando:
Resposta
(a) 4
(b) z = 2x + y - 5/4
(b) z = 2x + y - 5/4