Considere a função f(x, y)=arctg(x^2-y^2).
(a) Determine o domínio de f.
(b) Determine em quais pontos do domínio a função f é diferenciável.
(c) Encontre todos o pontos (x0, y0) do domínio de f para os quais o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( x0, y0, f(x0, y0) ) é paralelo ao plano x y.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=arctanl(x^2-y^2r)
e pede:
  • (a) o domínio de f;
  • (b) onde f é diferenciável;
  • (c) em quais pontos o plano tangente é paralelo ao plano xy.
    Para isso vamos usar que arctan está definida e é C^infty em R, e que x^2-y^2 é polinomial.

Passo 2

O argumento de arctan pode ser qualquer número real, pois
arctancolonRtol(-tfracpi2,tfracpi2r)
é definido em todo R. Logo o domínio de f é
(x,y)inR^2=R^2

Passo 3

Como u(x,y)=x^2-y^2 é polinomial (logo C^infty em R^2) e arctan(u) é C^infty para todo uinR, a composição
f(x,y)=arctanl(u(x,y)r)
é C^infty em todo R^2. Portanto f é diferenciável em todo o seu domínio R^2.

Passo 4

Para achar onde o plano tangente é paralelo ao plano xy precisamos das derivadas parciais e impor
fx(x,y)=0 e fy(x,y)=0
Como dduarctan(u)=11+u^2, usando u=x^2-y^2 temos
fx(x,y) =11+(x^2-y^2)^2cdot2x, fy(x,y) =11+(x^2-y^2)^2cdot(-2y)

Passo 5

Impondo as duas igualdades a zero:
fx(x,y)=0implies 2x=0implies x=0,
fy(x,y)=0implies -2y=0implies y=0
Logo o único ponto crítico é (0,0). Nesse ponto o plano tangente
z-f(0,0)=fx(0,0),(x-0)+fy(0,0),(y-0)
fica z=f(0,0)=arctan(0)=0, que é paralelo ao plano xy.

Resposta

(a) R^2
(b) Em todo R^2
(c) Apenas em l(x0,y0r)=(0,0).

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