Considere a função
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) Determine em quais pontos do domínio a função
é diferenciável.
(c) Encontre todos o pontos
do domínio de
para os quais o plano tangente ao gráfico de
no ponto (
) é paralelo ao plano
.
(a) Determine o domínio de
(b) Determine em quais pontos do domínio a função
(c) Encontre todos o pontos
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- (a) o domínio de
; - (b) onde
é diferenciável; - (c) em quais pontos o plano tangente é paralelo ao plano
.
Para isso vamos usar queestá definida e é em , e que é polinomial.
Passo 2
O argumento de
pode ser qualquer número real, pois
é definido em todo
. Logo o domínio de
é
Passo 3
Como
é polinomial (logo
em
) e
é
para todo
, a composição
é
em todo
. Portanto
é diferenciável em todo o seu domínio
.
Passo 4
Para achar onde o plano tangente é paralelo ao plano
precisamos das derivadas parciais e impor
Como
, usando
temos
Passo 5
Impondo as duas igualdades a zero:
Logo o único ponto crítico é
. Nesse ponto o plano tangente
fica
, que é paralelo ao plano
.
Resposta
(a)
(b) Em todo
(c) Apenas em .
(b) Em todo
(c) Apenas em