Considere a equação
.
Mostre que se
e
são soluções da equação, então
também o é.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear de primeira ordem homogênea
e pede para mostrar que, se
e
são soluções, então a soma
também satisfaz a equação. Vamos usar a ideia de linearidade do operador diferencial.
Passo 2
Definimos o operador linear
atuando em uma função
por
Por hipótese temos
Passo 3
Agora aplicamos
à soma
. Usando a propriedade de derivada da soma e a distributividade,
Agrupando termos:
Passo 4
Como
e
, segue que
Portanto
também satisfaz
.
Resposta
A soma de duas soluções
e
é também solução, pois o operador diferencial é linear. Então,
é solução da equação dada.