Considere a equação d yd x+p(x) y=0.
Mostre que se y1(x) e y2(x) são soluções da equação, então y(x)=y1(x)+y2(x) também o é.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear de primeira ordem homogênea
dydx + p(x),y = 0
e pede para mostrar que, se ,y1(x) e ,y2(x) são soluções, então a soma
y(x) = y1(x) + y2(x)
também satisfaz a equação. Vamos usar a ideia de linearidade do operador diferencial.

Passo 2

Definimos o operador linear ,L atuando em uma função y por
L[y] = dydx + p(x),y
Por hipótese temos
L[y1] = 0 e L[y2] = 0

Passo 3

Agora aplicamos L à soma y = y1 + y2. Usando a propriedade de derivada da soma e a distributividade,
L[y1+y2] = ddx(y1+y2) + p(x),(y1+y2) = l(y1'+y2'r) + p(x),y1 + p(x),y2
Agrupando termos:
L[y1+y2] = l(y1'+p(x),y1r) + l(y2'+p(x),y2r) = L[y1] + L[y2]

Passo 4

Como L[y1]=0 e L[y2]=0, segue que
L[y1+y2] = 0 + 0 = 0
Portanto y(x)=y1(x)+y2(x) também satisfaz dydx+p(x),y=0.

Resposta

A soma de duas soluções ,y1 e ,y2 é também solução, pois o operador diferencial é linear. Então,
y(x)=y1(x)+y2(x)
é solução da equação dada.

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