Calcule o limite:
lim x 1 x^3-1raizx-1.

Passo 1

O enunciado pede
limxto 1x^3-1raizx-1
Percebemos que é um limite de forma indeterminada tfrac00. Vamos usar racionalização do denominador e fatoração de diferença de cubos para simplificar antes de avaliar.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=1:
x^3-1|x=1=0, raizx-1|x=1=0,
logo tfrac00, o que confirma que é preciso manipular algebricamente.

Passo 3

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raizx+1:
x^3-1raizx-1 =(x^3-1)(raizx+1)(raizx-1)(raizx+1) =(x^3-1)(raizx+1)x-1

Passo 4

Fatoramos x^3-1 como diferença de cubos:
x^3-1=(x-1)l(x^2+x+1r)
Substituindo na expressão obtemos
(x^3-1)(raizx+1)x-1 =(x^2+x+1)(raizx+1)

Passo 5

Agora basta avaliar em x=1, já que não há mais indeterminação:
limxto1(x^2+x+1)(raizx+1) =(1^2+1+1),(1+1) =3cdot2 =6

Resposta

6

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