A igualdade lim x -4 x^2+2 x-8x+4=lim x -4(x-2) é verdadeira? Justifique corretamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
limx to -4 x^2 + 2x - 8x + 4 = limx to -4 (x - 2)
O conteúdo necessário envolve fatoração de polinômio, cancelamento de fator e a propriedade de que duas funções iguais num intervalo retirando o ponto de interesse têm o mesmo limite.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
x^2 + 2x - 8 = (x + 4),(x - 2)

Passo 3

Para x neq -4, podemos simplificar:
x^2 + 2x - 8x + 4 = (x + 4)(x - 2)x + 4 = x - 2

Passo 4

Como x^2 + 2x - 8x + 4 e x - 2 coincidem em todo intervalo que contém -4, exceto exatamente em x=-4, elas têm o mesmo limite quando x to -4.

Passo 5

Logo,
limx to -4 x^2 + 2x - 8x + 4 = limx to -4 (x - 2) = -6

Resposta

Sim. A igualdade é verdadeira, pois após a fatoração e o cancelamento de x+4 (válido para xneq -4), as duas expressões coincidem em um intervalo retirando o ponto x=-4, garantindo que seus limites ao se aproximar de -4 sejam iguais.

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