Calcule o limite:
.
Passo 1
Vamos calcular o limite de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte
. Quando
se aproxima de 5, substituímos na expressão:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Conforme
se aproxima de 5, o denominador
tende a 0, o que faz com que
tenda para infinito (positivo ou negativo dependendo da direção). A função cosseno,
, sempre varia entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Portanto:
Passo 4
Multiplicando as duas partes, temos:
Sabemos que
tende a 0 conforme
se aproxima de 5. Então, os dois limites nas extremidades também são 0:
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Portanto:
Resposta
O limite é
.