Calcule o limite:
lim x 3(1+x3)^1x-3

Passo 1

O enunciado pede
limxto3l(tfrac1+x3r)^1x-3
O conteúdo aqui é limite de uma função na forma f(x)^g(x) com o expoente explodindo em x=3. Vamos usar a transformação pelo logaritmo para entender o comportamento.

Passo 2

Defina
y = l(tfrac1+x3r)^1x-3
e examine
ln y = 1x-3,ln!l(tfrac1+x3r)
Quando xto3, temos lnl((1+x)/3r)toln(4/3)>0 e x-3to0, gerando uma forma de tipo “constante dividido por zero”, isto é, ln ytopminfty.

Passo 3

Avalie o limite pela direita xto3^+:
  • x-3>0 pequeno,
  • lnl((1+x)/3r)approxln(4/3)>0,
    logo
ln y ;to; +infty Longrightarrow y;to;+infty

Passo 4

Avalie o limite pela esquerda xto3^-:
  • x-3<0 pequeno,
  • lnl((1+x)/3r)>0,
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ln y ;to; -infty Longrightarrow y;to;0

Passo 5

Os limites laterais são diferentes ( 0 à esquerda e +infty à direita), portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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