Seja
uma função homogênea de grau
para todo par
tal que
(circulo unitário). Calcule:
a)
b)
c)
.
Obs.: Este exercício mostra que, se
é homogênea, então sabendo o seu valor no círculo unitário, podemos determinar o seu valor em qualquer
.
Obs.: Este exercício mostra que, se
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
homogênea de grau
tal que, em todos os pontos
do círculo unitário (
), vale
. Pede-se
,
e a expressão geral de
. Vamos usar a propriedade de homogeneidade:
Passo 2
Se
, defina
e
, que satisfaz
. Como
é homogênea de grau
,
Mas no círculo unitário
, logo
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Como
, concluímos
Passo 4
a) Para
calculamos
então
b) Para
temos
daí
Resposta
a)
b)
c) para
.
b)
c)