Seja f: R^2 R uma função homogênea de grau 2 com f(a, b)=a para todo par (a, b) tal que a^2+b^2=1 (circulo unitário). Calcule: a) f(4 raiz3, 4) b) f(0,3) c) f(x, y),(x, y) neq 0.
Obs.: Este exercício mostra que, se f é homogênea, então sabendo o seu valor no círculo unitário, podemos determinar o seu valor em qualquer (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função fcolon R^2toR homogênea de grau 2 tal que, em todos os pontos (a,b) do círculo unitário ( a^2+b^2=1), vale f(a,b)=a. Pede-se f(4raiz3,4), f(0,3) e a expressão geral de f(x,y). Vamos usar a propriedade de homogeneidade:
f(t,x,t,y)=t^2,f(x,y)

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), defina r=raizx^2+y^2 e (a,b)=(x/r,y/r), que satisfaz a^2+b^2=1. Como f é homogênea de grau 2,
f(x,y)=f(r,a,r,b)=r^2,f(a,b)
Mas no círculo unitário f(a,b)=a, logo
f(x,y)=r^2,a

Passo 3

Substituindo a=x/r em f(x,y)=r^2,a, obtemos
f(x,y)=r^2xr=x,r
Como r=raizx^2+y^2, concluímos
f(x,y)=x,raizx^2+y^2

Passo 4

a) Para (x,y)=(4raiz3,4) calculamos
r=raiz(4raiz3)^2+4^2=raiz48+16=8,
então
f(4raiz3,4)=4raiz3cdot8=32raiz3
b) Para (x,y)=(0,3) temos
r=raiz0+9=3,
daí
f(0,3)=0cdot3=0

Resposta

a) 32raiz3
b) 0
c) f(x,y)=xraizx^2+y^2 para (x,y)neq(0,0).

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