Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das seguintes funções.
f(x, y)=x^2,-1 <= x <= 0 e y >= 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função
f(x,y)=x^2,
com domínio dado por -1 <= x <= 0 e y>=0.
O conteúdo principal aqui é compreender que uma curva de nível de f para o valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c, e depois visualizar a superfície z=f(x,y) em três dimensões.

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, fixamos um valor c>=0 e resolvemos
x^2 = c
Isso leva a
x = pmraizc
Porém, como o domínio exige -1 <= x <= 0, só vale a solução negativa. Logo cada curva de nível f(x,y)=c é dada por
x = -raizc, y>=0

Passo 3

Como exemplo, para alguns c temos:
c=0 Rightarrow x=0 (reta vertical sobre o eixo y>=0),
c=tfrac14 Rightarrow x=-tfrac12 (reta vertical),
c=1 Rightarrow x=-1 (reta vertical).
Todas essas retas são paralelas ao eixo y e partem de y=0 para cima.

Passo 4

Para o esboço do gráfico em 3D, note que z=x^2 não depende de y. Assim, para cada valor fixo de y>=0 o perfil em (x,z) é a mesma parábola z=x^2 para -1<= x<=0. Isso gera uma superfície cilíndrica parabólica aberta para cima, estendida ao longo de todo o semieixo y>=0.

Resposta

As curvas de nível de f são as retas verticais
x = -raizc, y>=0, cin[0,1],
e o gráfico de z=x^2 se apresenta como um cilindro parabólico aberto para cima, no intervalo -1<= x<=0, extrudido ao longo de y>=0.

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