Questão 1) (Vale 1,5)
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade juntos! O enunciado pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade:
Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Precisaremos entender como manipular essas expressões para encontrar os intervalos de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a expressão esteja definida. O denominador não pode ser zero, então:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos manipular a desigualdade para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados da desigualdade por
(que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
Multiplicando ambos os lados por 5:
Ou seja:
Passo 4
Para resolver
, vamos analisar em que intervalos essa expressão é menor ou igual a 5. Primeiro, identificamos os pontos críticos onde cada módulo muda de sinal:
Isso divide a linha dos números reais em três intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 5
Intervalo 1:
Nesse intervalo, tanto
quanto
são negativos. Então:
Multiplicando:
Queremos:
Expandindo:
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Chamamos as raízes de
e
. Como estamos no intervalo
, verificamos que
.
Passo 6
Intervalo 2:
Nesse intervalo,
é positivo e
é negativo. Então:
Multiplicando:
Queremos:
Expandindo:
Resolvemos
:
A desigualdade
é satisfeita para
ou
. No intervalo
, consideramos apenas
.
Passo 7
Intervalo 3:
Nesse intervalo, tanto
quanto
são positivos. Então:
Multiplicando:
Queremos:
Expandindo:
Resolvemos
:
No intervalo
, verificamos que
.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a desigualdade são: