Questão 1) (Vale 1,5)
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
1|x+1||x-4| >= 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade juntos! O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade:
1|x+1||x-4| >= 15
Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Precisaremos entender como manipular essas expressões para encontrar os intervalos de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a expressão esteja definida. O denominador não pode ser zero, então:
|x+1||x-4| neq 0
Isso significa que:
x neq -1 e x neq 4

Passo 3

Agora, vamos manipular a desigualdade para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados da desigualdade por |x+1||x-4| (que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
1 >= |x+1||x-4|5
Multiplicando ambos os lados por 5:
5 >= |x+1||x-4|
Ou seja:
|x+1||x-4| <= 5

Passo 4

Para resolver |x+1||x-4| <= 5 , vamos analisar em que intervalos essa expressão é menor ou igual a 5. Primeiro, identificamos os pontos críticos onde cada módulo muda de sinal:
x + 1 = 0 Rightarrow x = -1
x - 4 = 0 Rightarrow x = 4
Isso divide a linha dos números reais em três intervalos:
  1. x < -1
  2. -1 < x < 4
  3. x > 4
Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 5

Intervalo 1: x < -1
Nesse intervalo, tanto x+1 quanto x-4 são negativos. Então:
|x+1| = -(x+1) e |x-4| = -(x-4)
Multiplicando:
|x+1||x-4| = (-(x+1)) cdot (-(x-4)) = (x+1)(x-4)
Queremos:
(x+1)(x-4) <= 5
Expandindo:
x^2 - 3x - 4 <= 5
x^2 - 3x - 9 <= 0
Resolvemos a equação quadrática x^2 - 3x - 9 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 3 pm raiz9 + 362 = 3 pm raiz452 = 3 pm 3raiz52
Chamamos as raízes de x1 e x2 . Como estamos no intervalo x < -1 , verificamos que x <= 3 - 3raiz52 .

Passo 6

Intervalo 2: -1 < x < 4
Nesse intervalo, x+1 é positivo e x-4 é negativo. Então:
|x+1| = x+1 e |x-4| = -(x-4)
Multiplicando:
|x+1||x-4| = (x+1)(-(x-4)) = -(x+1)(x-4)
Queremos:
-(x+1)(x-4) <= 5 Rightarrow (x+1)(x-4) >= -5
Expandindo:
x^2 - 3x - 4 >= -5
x^2 - 3x + 1 >= 0
Resolvemos x^2 - 3x + 1 = 0 :
x = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
A desigualdade x^2 - 3x + 1 >= 0 é satisfeita para x <= 3 - raiz52 ou x >= 3 + raiz52 . No intervalo -1 < x < 4 , consideramos apenas 3 - raiz52 <= x <= 3 + raiz52 .

Passo 7

Intervalo 3: x > 4
Nesse intervalo, tanto x+1 quanto x-4 são positivos. Então:
|x+1| = x+1 e |x-4| = x-4
Multiplicando:
|x+1||x-4| = (x+1)(x-4)
Queremos:
(x+1)(x-4) <= 5
Expandindo:
x^2 - 3x - 4 <= 5
x^2 - 3x - 9 <= 0
Resolvemos x^2 - 3x - 9 = 0 :
x = 3 pm raiz452 = 3 pm 3raiz52
No intervalo x > 4 , verificamos que x <= 3 + 3raiz52 .

Resposta

Os valores de x que satisfazem a desigualdade são:
x in ( -infty, 3 - 3raiz52 ) cup [ 3 - raiz52, 3 + raiz52 ] cup ( 4, 3 + 3raiz52 )

Exercícios relacionados