Se P=(raiz2, raiz6,-2 raiz2) em coordenadas cartesianas, como se escreve esse mesmo ponto em coordenadas esíericas (r, theta, barvarphi) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto P=(raiz2, raiz6, -2raiz2) nas coordenadas cartesianas e pede para a gente converter esse ponto para as coordenadas esféricas (r, theta, varphi). Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e esféricas. Basicamente, precisamos calcular r, o raio; theta, o ângulo polar; e varphi, o ângulo azimutal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de r, que representa a distância do ponto até a origem. A fórmula para r em termos das coordenadas cartesianas (x, y, z) é:
r = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Agora, vamos calcular theta, o ângulo polar, que é o ângulo entre o vetor posição do ponto e o eixo z positivo. A fórmula para theta é:
theta = arccos(zr)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular varphi, o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x positivo até a projeção do ponto nesse plano. A fórmula para varphi é:
varphi = arctan(yx)

Passo 5

Vamos agora substituir os valores de x, y e z no cálculo de r:
r = raiz(raiz2)^2 + (raiz6)^2 + (-2raiz2)^2 = raiz2 + 6 + 8 = raiz16 = 4

Passo 6

Com r = 4, vamos calcular theta:
theta = arccos(-2raiz24) = arccos(-raiz22)
Sabemos que arccos(-raiz22) = 3pi4 radianos.

Passo 7

Agora, calculamos varphi:
varphi = arctan(raiz6raiz2) = arctan(raiz3)
Sabemos que arctan(raiz3) = pi3 radianos.

Resposta

Portanto, o ponto P=(raiz2, raiz6, -2raiz2) nas coordenadas cartesianas corresponde a (4, 3pi4, pi3) nas coordenadas esféricas.

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