Calcule o limite abaixo:
lim x a raiz[n]x-raiz[n]araizx-raiza

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular
limxto araiz[n]x-raiz[n]araizx-raiza
Isso é um problema de limite que dá a forma 0/0 quando xto a, então a gente vai usar manipulações algébricas com raízes (fatoração de diferença de potências e racionalização de raiz quadrada) pra “cancelar” esse 0/0 e achar o valor.

Passo 2

Primeiro, observe que se xto a, tanto raiz[n]x-raiz[n]ato0 quanto raizx-raizato0.
Logo, temos a forma indeterminada 0/0. Pra resolver, precisamos reescrever numerador e denominador pra eliminar esse zero.

Passo 3

  1. Para a raiz de ordem n:
x - a = l(raiz[n]x-raiz[n]ar),l(raiz[n]x^,n-1+raiz[n]x^,n-2raiz[n]a+cdots+raiz[n]a^,n-1r)
Então
raiz[n]x-raiz[n]a = x-asumk=0^n-1raiz[n]x^,n-1-k,raiz[n]a^,k
  1. Para a raiz quadrada:
raizx-raiza = x-araizx+raiza

Passo 4

Substituindo no quociente:
raiz[n]x-raiz[n]araizx-raiza = x-asumk=0^n-1raiz[n]x^,n-1-kraiz[n]a^,k x-araizx+raiza = raizx+raiza sumk=0^n-1raiz[n]x^,n-1-k,raiz[n]a^,k
Repare que o fator x-a cancelou, eliminando o 0/0.

Passo 5

Agora basta tomar xto a:
  • No numerador raizx+raizato2raiza
  • No denominador cada termo raiz[n]x^,n-1-kraiz[n]a^,kto a^n-1-kn,a^kn=a^n-1n, e como são n termos, a soma tende a
n,a^n-1n
Logo o limite vale
2raizan,a^n-1n = 2n,a^12-n-1n = 2n,a^2-n2n

Resposta

boxedlimxto araiz[n]x-raiz[n]araizx-raiza = 2n,a^2-n2n

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