Questão 1) (5, 0 ptos, no qual cada item vale 2,5 ptos)
Considerando a função vetorial s(t)=(sec ^2(t)+2, ln (t+1), 4), então determine:
a) Os vetores T(t), N(t) e B(t) de s(t).
b) Os planos osculador e normal de s(t) considerando o ponto (3,0,4).

Passo 1

Beleza, o enunciado dá uma curva vetorial
s(t) = l(sec^2(t)+2,;ln(t+1),;4r)
e pede duas coisas:
  1. Os vetores de Frenet—T(t), N(t) e B(t).
  2. Os planos osculador e normal no ponto (3,0,4).
    Matéria envolvida: Cálculo vetorial, derivadas de funções vetoriais, normalização de vetores, produto escalar e vetorial. Vamos precisar derivar componente a componente, achar norma, usar projeção, cruzamento, etc.

Passo 2

Calcular T(t):
  1. Derivada:
s'(t) =l(,ddt[sec^2t+2],;ddt[ln(t+1)],;0r) =l(2sec^2ttan t,;tfrac1t+1,;0r)
  1. Norma de s'(t):
|s'(t)| =raizl(2sec^2ttan tr)^2+l(tfrac1t+1r)^2 =raiz4sec^4t,tan^2t+1(t+1)^2
  1. Vetor tangente unitário:
T(t) =s'(t)|s'(t)| =l(2sec^2ttan t,;tfrac1t+1,;0r) raiz4sec^4t,tan^2t+tfrac1(t+1)^2

Passo 3

Calcular N(t) e B(t):
  1. Segunda derivada:
s''(t) =l(4sec^2t,tan^2t+2sec^4t,;-,tfrac1(t+1)^2,;0r)
  1. Componente normal da “aceleração”:
v(t) =s''(t)-l[s''(t)!cdot!T(t)r],T(t)
  1. Vetor normal unitário:
N(t) =v(t)|v(t)|
  1. Vetor binormal unitário:
B(t) = T(t)times N(t)

Passo 4

Planos no ponto (3,0,4):
  1. Primeiro achamos t0 tal que
    sec^2(t0)+2=3 e ln(t0+1)=0.
    - sec^2(t0)=1 t0=kpi;
    - ln(t0+1)=0 t0=0.
    Logo t0=0.
    Em t=0 temos
T(0)=(0,1,0), N(0)=(1,0,0), B(0)=(0,0,-1)
  1. Plano osculador contém T e N, logo sua normal é B(0).
    Equação: (x-3,y-0,z-4)cdot(0,0,-1)=0
    -1cdot(z-4)=0 z=4.
  2. Plano normal contém N e B, normal é T(0).
    Equação: (x-3,y,z-4)cdot(0,1,0)=0
    y=0.

Resposta

a) Vetores de Frenet para s(t):
T(t) =l(2sec^2ttan t,;tfrac1t+1,;0r) raiz4sec^4t,tan^2t+tfrac1(t+1)^2, N(t) =s''(t)-l[s''(t)!cdot!T(t)r]T(t)|,cdot,|, B(t)=T(t)times N(t)
b) No ponto (3,0,4) (que ocorre em t=0):
Plano osculador: z=4.
Plano normal: y=0.

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