Questão 1) (5, 0 ptos, no qual cada item vale 2,5 ptos)
Considerando a função vetorial
, então determine:
a) Os vetores
e
de
.
b) Os planos osculador e normal de
considerando o ponto
.
Considerando a função vetorial
a) Os vetores
b) Os planos osculador e normal de
Passo 1
Beleza, o enunciado dá uma curva vetorial
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- Os vetores de Frenet—T(t), N(t) e B(t).
- Os planos osculador e normal no ponto
.
Matéria envolvida: Cálculo vetorial, derivadas de funções vetoriais, normalização de vetores, produto escalar e vetorial. Vamos precisar derivar componente a componente, achar norma, usar projeção, cruzamento, etc.
Passo 2
Calcular T(t):
- Derivada:
- Norma de
:
- Vetor tangente unitário:
Passo 3
Calcular N(t) e B(t):
- Segunda derivada:
- Componente normal da “aceleração”:
- Vetor normal unitário:
- Vetor binormal unitário:
Passo 4
Planos no ponto
:
- Primeiro achamos
tal que
e .
-dá ;
-dá .
Logo.
Emtemos
- Plano osculador contém
e , logo sua normal é .
Equação:
⟹⟹ . - Plano normal contém
e , normal é .
Equação:
⟹.
Resposta
a) Vetores de Frenet para
:
b) No ponto
(que ocorre em
):
Plano osculador: .
Plano normal: .
Plano osculador:
Plano normal: