Questão 3) (2, 5 ptos)
Sabendo que u(t)=(5 t^3, 2 t+1,3 t), v(t)=(3,6 t^3, 1) e f(t)=t, então encontre
dd t(u(t) cdot v(t)+(f(t) v(t)) times u(t))

Passo 1

O enunciado pede
ddtl(u(t)cdot v(t);+;(f(t),v(t))times u(t)r)
Porém o termo ucdot v é escalar e (f,v)times u é vetor, não faz sentido somá-los. Logo, assumimos que houve um deslize de digitação e o primeiro produto é também vetorial.
Então resolvemos
ddtl(u(t)times v(t);+;(f(t),v(t))times u(t)r),
aplicando as regras de derivada de produto vetorial e de escalar vezes vetor:
ddt[atimes b]=a'times b+atimes b', ddt[f,b]=f',b+f,b'

Passo 2

Calculamos as derivadas das funções dadas:
u(t)=(5t^3,;2t+1,;3t) Longrightarrow u'(t)=(15t^2,;2,;3),
v(t)=(3,;6t^3,;1) Longrightarrow v'(t)=(0,;18t^2,;0),
f(t)=t Longrightarrow f'(t)=1

Passo 3

Aplicamos a regra de derivada à soma de dois produtos vetoriais:
ddt[,utimes v,] = u'times v + utimes v',
ddt[(f,v)times u] = (f,v)'times u + (f,v)times u'

Passo 4

Expandimos (f,v)'=f',v+f,v'. Então a derivada total fica
u'times v ;+;utimes v' ;+; l(f',v+f,v'r)times u ;+; (f,v)times u'

Passo 5

Substituímos u',v',f,f' e calculamos os produtos vetoriais:
  1. u'times v=(15t^2,2,3)times(3,6t^3,1) =(2-18t^3,;-15t^2+9,;90t^5-6)
  2. utimes v'=(5t^3,2t+1,3t)times(0,18t^2,0) =(-54t^3,,0,,90t^5)
  3. f',vtimes u=1cdot(3,6t^3,1)times(5t^3,2t+1,3t) =(18t^4-2t-1,;-9t+5t^3,;6t+3-30t^6)
  4. f,v'times u=tl((0,18t^2,0)times(5t^3,2t+1,3t)r) =(54t^4,0,-90t^6)
  5. (f,v)times u'=(3t,6t^4,t)times(15t^2,2,3) =(18t^4-2t,;-9t+15t^3,;6t-90t^6)

Passo 6

Somando componente a componente todos os vetores acima, obtemos
ddtl(utimes v+(f,v)times ur) = l( 1-4t-72t^3+90t^4,; 9-18t-15t^2+20t^3,; -3+12t+180t^5-210t^6 r)

Resposta

boxed ddtl(u(t)times v(t)+(f(t)v(t))times u(t)r) = l(, 1-4t-72t^3+90t^4,; 9-18t-15t^2+20t^3,; -3+12t+180t^5-210t^6 ,r)

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