Questão 4) (2,5 ptos)
Encontre a derivada n - ésima da função vetorial
r(t)=(9(2 t+5)^3, e^5 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada n-ésima da função vetorial
r(t)=l(u(t),,v(t)r) com u(t)=9(2t+5)^3, v(t)=e^5t
Para isso precisamos lembrar de duas receitas de cálculo:
  1. A derivada n-ésima de uma exponencial e^at traz um fator a em cada diferenciação.
  2. A derivada n-ésima de (2t+5)^m pode ser obtida pela regra da cadeia repetida, gerando um produto de termos decrescentes de m.

Passo 2

Começando pela segunda componente, aplicamos n vezes a regra de derivação de exponencial. Cada vez surge um fator 5, logo
v^(n)(t) =d^ndt^ne^5t =5^n,e^5t

Passo 3

Para a primeira componente note que
u(t)=9,(2t+5)^-3
A fórmula geral para a derivada n-ésima de (2t+5)^m é
d^ndt^n(2t+5)^m =2^n,m,(m-1),(m-2)cdots(m-n+1),(2t+5)^m-n
Aqui m=-3, então
u^(n)(t) =9;2^n;(-3)(-4)cdots(-3-n+1);(2t+5)^-3-n

Passo 4

O produto (-3)(-4)cdots(-3-n+1) tem n fatores e vale
(-1)^n,(3cdot4cdots(n+2)) =(-1)^n(n+2)!2!
Substituindo em u^(n) e simplificando 9cdot2^n/2!=9cdot2^,n-1, obtemos
u^(n)(t) =(-1)^n,9cdot2^,n-1,(n+2)!;(2t+5)^-n-3

Resposta

A derivada n-ésima de r(t) é
r^(n)(t) =l(u^(n)(t),,v^(n)(t)r) =l((-1)^n,9cdot2^,n-1,(n+2)!,(2t+5)^-n-3,;5^n,e^5tr)

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