Questão 2) (5, 0 ptos, no qual cada item vale 2,5 ptos) Calcule o comprimento de arco da curva:
r(t)=(t^2,|t|), no qual t in(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva r(t)=(t^2,|t|) para tin(-1,1). O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica. A fórmula geral é
L=integrala^braizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt
Vamos aplicar isso, levando em conta que a derivada de |t| exige separar os casos t<0 e t>0.

Passo 2

As componentes são x(t)=t^2 e y(t)=|t|. Para t<0 temos y(t)=-t e para t>0 temos y(t)=t. Então
dxdt=2t,dydt=-1,&t<0,1,&t>0
Em ambos os ramos o integrando é
raiz(2t)^2+(pm1)^2=raiz4t^2+1
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L=integral-1^0raiz4t^2+1,dt+integral0^1raiz4t^2+1,dt

Passo 3

Como a função raiz4t^2+1 é par, ou seja simétrica em torno de zero, podemos simplificar:
L=2integral0^1raiz4t^2+1,dt

Passo 4

Para calcular a integral definimos
I(t)=integralraiz4t^2+1,dt
Usando a substituição u=2t, obtemos a antiderivada
I(t)=t2raiz4t^2+1+14lnl(2t+raiz4t^2+1r)+C

Passo 5

Substituindo em L=2[I(1)-I(0)] temos
I(1)-I(0) =l(12raiz5+14ln(2+raiz5)r)-0 =raiz52+14ln(2+raiz5)
Multiplicando por 2 resulta
L=raiz5+tfrac12ln(2+raiz5)

Resposta

O comprimento de arco é
L=raiz5+12lnl(2+raiz5r)

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