Calcule o limite abaixo, sem usar a regra de L’Hopital, justificando os seus cálculos:
(b) lim x 0 sen xx^3-3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sen xx^3-3x
sem usar a regra de L’Hôspital. O conteúdo envolvido é o limite fundamental
limxto0sen xx=1
e propriedades de limites de funções elementares.

Passo 2

Observe que o denominador pode ser fatorado como
x^3-3x = x,(x^2-3)

Passo 3

Reescrevemos o quociente de forma a separar o fator sen x/x:
sen xx^3-3x = sen xx;cdot;1,x^2-3,

Passo 4

Aplicamos o limite em cada fator, usando que limxto0sen x/x = 1 e que x^2-3 é contínua em x=0, logo
limxto0(x^2-3) = -3
Portanto
limxto0sen xx;=;1 e limxto01,x^2-3, =1-3=-13

Resposta

limxto0sen xx^3-3x = 1 times l(-tfrac13r) = -tfrac13

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