Calcule o limite abaixo: (Valor: 0,8-0,4 cada)
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}}
Justificando pelo critério de convergência adequado, diga se a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o limite
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{\,n^{12}+n-1\,}}.
  1. Usando um critério de convergência adequado, afirmar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{\,n^{12}+n-1\,}}
converge ou diverge.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral da sequência/série é \dfrac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}}.
  • O limite é pedido quando n\to\infty.
  • A série começa em n=0, mas o comportamento para convergência é determinado pelo comportamento para n grande (os primeiros termos não afetam convergência).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do termo para entender o seu comportamento quando n fica grande. Uma técnica padrão é fatorar a maior potência de n que aparece no radicando.
Observe que n^{12} é a maior potência em n^{12}+n-1. Portanto escrevemos a raiz quinta como
\sqrt[5]{n^{12}+n-1}=n^{12/5}\sqrt[5]{\,1+n^{-11}-n^{-12}\,}.
Isto porque
\sqrt[5]{n^{12}}=n^{12/5}
e, ao dividir o dentro da raiz por n^{12}, obtemos o fator \sqrt[5]{1+n^{-11}-n^{-12}}.
Substituindo na fração,
\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}} = \frac{n^{2}-2}{n^{12/5}\sqrt[5]{1+n^{-11}-n^{-12}}}.
Agora separamos o fator de potência de n:
\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}} = n^{2-12/5}\cdot\frac{1-2/n^{2}}{\sqrt[5]{1+n^{-11}-n^{-12}}}.
Calcule a diferença de expoentes:
2-\frac{12}{5}=\frac{10-12}{5}=-\frac{2}{5}.
Logo
\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}} = n^{-2/5}\cdot\frac{1-2/n^{2}}{\sqrt[5]{1+n^{-11}-n^{-12}}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite de cada fator quando n\to\infty.
  • Temos \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^{-2/5}=0 porque a potência é negativa ( -2/5), então n^{-2/5}=1/n^{2/5}\to 0.
  • Também \displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl(1-2/n^{2}\bigr)=1.
  • E \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[5]{1+n^{-11}-n^{-12}}=\sqrt[5]{1}=1, já que n^{-11}\to0 e n^{-12}\to0 e a função x\mapsto x^{1/5} é contínua perto de 1.
Multiplicando os limites (ou observando que o fator que não é n^{-2/5} tende a 1), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}}=\lim_{n\to\infty} n^{-2/5}\cdot 1 = 0.
Portanto o limite pedido é 0.
(Dica prática para a prova: ao ter polinômios dentro de radicais, sempre fatorar a maior potência e comparar os expoentes para obter a ordem de grandeza.)

Passo 4

Agora decidimos sobre a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}}.
Para isso usamos o Teste da Comparação Limite (limit comparison test), que diz: se a_n>0, b_n>0 e \lim_{n\to\infty} a_n/b_n = c com 0<c<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge.
Escolhemos a série p-padrão \sum b_n com
b_n = n^{-2/5}.
Esta escolha vem do comportamento assintótico do termo que achamos no Passo 3: o termo geral se comporta como n^{-2/5} para grandes n.
Primeiro, verifique positividade: para n\ge 2 temos n^{2}-2>0 e o denominador é positivo, então os termos são positivos a partir de um índice finito — isso permite aplicar o teste (os primeiros termos finitos não alteram a convergência).
Calcule a razão:
\frac{\dfrac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}}}{n^{-2/5}} = \frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}}\cdot n^{2/5} = \frac{1-2/n^{2}}{\sqrt[5]{1+n^{-11}-n^{-12}}}.
Pelo que já observamos, o limite dessa expressão quando n\to\infty é 1. Ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty).
Portanto, pelo Teste da Comparação Limite, a série \sum a_n e a série \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
Mas a série \sum b_n=\sum n^{-2/5} é uma série p (p-series) com p=\tfrac{2}{5}. Conhecimento chave sobre p-series: a série \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=\tfrac{2}{5}<1, logo \sum n^{-2/5} diverge.
Concluímos então que a série original diverge.

Resposta

\displaystyle 0\n \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}-2}{\sqrt[5]{n^{12}+n-1}} diverge

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