Calcule o limite abaixo: (Valor: 0,8-0,4 cada)
Justificando pelo critério de convergência adequado, diga se a série
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o limite
- Usando um critério de convergência adequado, afirmar se a série
converge ou diverge.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral da sequência/série é
. - O limite é pedido quando
. - A série começa em
, mas o comportamento para convergência é determinado pelo comportamento para grande (os primeiros termos não afetam convergência).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do termo para entender o seu comportamento quando
fica grande. Uma técnica padrão é fatorar a maior potência de
que aparece no radicando.
Observe que
é a maior potência em
. Portanto escrevemos a raiz quinta como
Isto porque
e, ao dividir o dentro da raiz por
, obtemos o fator
.
Substituindo na fração,
Agora separamos o fator de potência de
:
Calcule a diferença de expoentes:
Logo
Passo 3
Agora analisamos o limite de cada fator quando
.
- Temos
porque a potência é negativa ( ), então . - Também
. - E
, já que e e a função é contínua perto de .
Multiplicando os limites (ou observando que o fator que não é
tende a
), obtemos
Portanto o limite pedido é
.
(Dica prática para a prova: ao ter polinômios dentro de radicais, sempre fatorar a maior potência e comparar os expoentes para obter a ordem de grandeza.)
Passo 4
Agora decidimos sobre a convergência da série
Para isso usamos o Teste da Comparação Limite (limit comparison test), que diz: se
,
e
com
, então
converge se, e somente se,
converge.
Escolhemos a série p-padrão
com
Esta escolha vem do comportamento assintótico do termo que achamos no Passo 3: o termo geral se comporta como
para grandes
.
Primeiro, verifique positividade: para
temos
e o denominador é positivo, então os termos são positivos a partir de um índice finito — isso permite aplicar o teste (os primeiros termos finitos não alteram a convergência).
Calcule a razão:
Pelo que já observamos, o limite dessa expressão quando
é
. Ou seja,
Portanto, pelo Teste da Comparação Limite, a série
e a série
têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
Mas a série
é uma série p (p-series) com
. Conhecimento chave sobre p-series: a série
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, logo
diverge.
Concluímos então que a série original diverge.