Dadas as medidas \mathrm{X}=\left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e \mathrm{Y}\left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right), calcular a expressão para \sigma_{\mathrm{F}} : F(X)=a X^{b}
e pede para calcular a expressão para \sigma_{F} quando
F(X)=a X^{b}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{variáveis e parâmetros: }a,\;b,\;x,\;\sigma_{\mathrm{s}},\;y,\;\sigma_{\mathrm{y}}.
Pergunta clara: obter a expressão de \sigma_{F} (incerteza em F) em termos dos dados acima. Observação: a função F depende apenas de X, então \mathrm{Y} e \sigma_{\mathrm{y}} não entram na expressão para \sigma_{F}.
Passo 2
Ideia física/matemática que usamos (explicada passo a passo): quando a incerteza \sigma_{\mathrm{s}} é pequena comparada a x, podemos aproximar a variação de F por sua aproximação linear (primeiro termo da expansão de Taylor). Escrevendo X=x+\delta x com \delta x pequeno,
F(x+\delta x)\approx F(x)+F'(x)\,\delta x.
Isto significa que a flutuação em F devido a \delta x é aproximadamente F'(x)\,\delta x. Se a incerteza de X é caracterizada por \sigma_{\mathrm{s}} (desvio padrão), então a incerteza de F é aproximadamente
Breve justificativa estatística: para pequena variação linear, \mathrm{Var}(F)\approx (F'(x))^{2}\mathrm{Var}(X), então \sigma_{F}=\sqrt{\mathrm{Var}(F)}\approx |F'(x)|\sigma_{\mathrm{s}}. O valor absoluto aparece porque a incerteza é sempre não-negativa, independentemente do sinal da derivada.
Passo 3
Calcular a derivada de F(X)=aX^{b} usando a regra do poder (power rule). A regra diz que se G(X)=X^{n} então G'(X)=nX^{n-1}. Aplicando com constante multiplicativa:
F'(X)=a\cdot b\;X^{\,b-1}.
Agora avaliamos em X=x:
F'(x)=a\,b\,x^{\,b-1}.
Passo 4
Substituímos F'(x) na fórmula de propagação linear da incerteza obtida no Passo 2:
confirmando consistência. Isso mostra como aplicar a fórmula na prova sem complicação.
Passo 7
Observações finais importantes para a prova (pitacos úteis): (i) a aproximação é válida quando \sigma_{\mathrm{s}} é pequeno e a função é suavemente diferenciável em x; (ii) a expressão relativa exige x\neq 0; (iii) o sinal de a ou b não afeta a incerteza absoluta porque usamos o valor absoluto; (iv) se houver mais variáveis independentes na função, a regra geral soma em quadratura as contribuições de cada variável — aqui não foi necessário porque F depende só de X.