Dadas as medidas \mathrm{X}=\left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e \mathrm{Y}\left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right), calcular a expressão para \sigma_{\mathrm{F}} :
F(X)=a X^{b}

Passo 1

O enunciado nos dá as medidas
\mathrm{X}=(x\pm\sigma_{\mathrm{s}})\quad\text{e}\quad \mathrm{Y}=(y\pm\sigma_{\mathrm{y}})
e pede para calcular a expressão para \sigma_{F} quando
F(X)=a X^{b}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{variáveis e parâmetros: }a,\;b,\;x,\;\sigma_{\mathrm{s}},\;y,\;\sigma_{\mathrm{y}}.áâ
Pergunta clara: obter a expressão de \sigma_{F} (incerteza em F) em termos dos dados acima. Observação: a função F depende apenas de X, então \mathrm{Y} e \sigma_{\mathrm{y}} não entram na expressão para \sigma_{F}.

Passo 2

Ideia física/matemática que usamos (explicada passo a passo): quando a incerteza \sigma_{\mathrm{s}} é pequena comparada a x, podemos aproximar a variação de F por sua aproximação linear (primeiro termo da expansão de Taylor). Escrevendo X=x+\delta x com \delta x pequeno,
F(x+\delta x)\approx F(x)+F'(x)\,\delta x.
Isto significa que a flutuação em F devido a \delta x é aproximadamente F'(x)\,\delta x. Se a incerteza de X é caracterizada por \sigma_{\mathrm{s}} (desvio padrão), então a incerteza de F é aproximadamente
\sigma_{F}\approx\left|F'(x)\right|\sigma_{\mathrm{s}}.
Breve justificativa estatística: para pequena variação linear, \mathrm{Var}(F)\approx (F'(x))^{2}\mathrm{Var}(X), então \sigma_{F}=\sqrt{\mathrm{Var}(F)}\approx |F'(x)|\sigma_{\mathrm{s}}. O valor absoluto aparece porque a incerteza é sempre não-negativa, independentemente do sinal da derivada.

Passo 3

Calcular a derivada de F(X)=aX^{b} usando a regra do poder (power rule). A regra diz que se G(X)=X^{n} então G'(X)=nX^{n-1}. Aplicando com constante multiplicativa:
F'(X)=a\cdot b\;X^{\,b-1}.
Agora avaliamos em X=x:
F'(x)=a\,b\,x^{\,b-1}.

Passo 4

Substituímos F'(x) na fórmula de propagação linear da incerteza obtida no Passo 2:
\sigma_{F}\approx\left|F'(x)\right|\sigma_{\mathrm{s}}=\left|a\,b\,x^{\,b-1}\right|\;\sigma_{\mathrm{s}}.
Esta é a expressão direta e prática: multiplica-se o módulo da derivada por \sigma_{\mathrm{s}}.

Passo 5

Forma alternativa mais útil em muitos casos: expressar \sigma_{F} em função de F(x) (valor nominal de F). Como F(x)=a x^{b}, fazemos a manipulação
\left|a\,b\,x^{\,b-1}\right| = |b|\;\frac{|a x^{b}|}{|x|}=|b|\;\frac{|F(x)|}{|x|}.
Logo uma forma equivalente é
\sigma_{F}\approx |b|\;\frac{|F(x)|}{|x|}\;\sigma_{\mathrm{s}}.
Daqui segue a relação de incerteza relativa muito usada:
\frac{\sigma_{F}}{|F(x)|}\approx |b|\;\frac{\sigma_{\mathrm{s}}}{|x|}.
Isto diz: a incerteza relativa de F é |b| vezes a incerteza relativa de X.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): suponha a=2, b=3, x=4 e \sigma_{\mathrm{s}}=0,1. Então
F(x)=2\cdot 4^{3}=2\cdot 64=128,
e pela fórmula
\sigma_{F}=\left|2\cdot 3\cdot 4^{2}\right|\,0,1=6\cdot 16\cdot 0,1=9{,}6.
Ou usando a forma relativa:
\frac{\sigma_{F}}{128}=|3|\frac{0,1}{4}=0{,}075\quad\Rightarrow\quad\sigma_{F}=128\cdot 0{,}075=9{,}6,
confirmando consistência. Isso mostra como aplicar a fórmula na prova sem complicação.

Passo 7

Observações finais importantes para a prova (pitacos úteis): (i) a aproximação é válida quando \sigma_{\mathrm{s}} é pequeno e a função é suavemente diferenciável em x; (ii) a expressão relativa exige x\neq 0; (iii) o sinal de a ou b não afeta a incerteza absoluta porque usamos o valor absoluto; (iv) se houver mais variáveis independentes na função, a regra geral soma em quadratura as contribuições de cada variável — aqui não foi necessário porque F depende só de X.

Resposta

\sigma_{F}=\left|a\,b\,x^{\,b-1}\right|\,\sigma_{\mathrm{s}}
\sigma_{F}=|b|\;\dfrac{|F(x)|}{|x|}\;\sigma_{\mathrm{s}}

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