Calcule o limite e analise a continuidade da função abaixo em e :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! O que a gente tem aqui é uma função vetorial f(t) definida de duas formas diferentes: uma para quando t não é igual a 3 e outra quando t é exatamente 3. Nosso objetivo é calcular o limite dessa função nos pontos t=0 e t=3 e ver se a função é contínua nesses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade das funções.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de f(t) quando t se aproxima de 0. Como t=0 é diferente de 3, usamos a definição da função para t neq 3:
f(t) = |t-3|t-3 i + t^2 i
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a expressão |t-3|t-3. O valor absoluto |t-3| sempre é positivo, então dividindo por t-3, que pode ser positivo ou negativo, temos:
Se t > 3, então |t-3| = t-3 e |t-3|t-3 = 1.
Se t < 3, então |t-3| = -(t-3) = 3-t e |t-3|t-3 = -1.
Como estamos calculando o limite em t=0, que é menor que 3, |t-3|t-3 = -1.
Passo 4
Agora substituímos na função:
f(t) = -1 cdot i + t^2 i = (-1 + t^2) i
Passo 5
Calculamos o limite quando t se aproxima de 0:
limt to 0 f(t) = limt to 0 (-1 + t^2) i = (-1 + 0) i = -i
Passo 6
Agora, verificamos o valor da função em t=0. Como t=0 neq 3, usamos a definição para t neq 3:
f(0) = (-1 + 0^2) i = -i
Passo 7
Como o limite quando t se aproxima de 0 é igual ao valor da função em t=0, a função f(t) é contínua em t=0.
Passo 8
Agora vamos calcular o limite de f(t) quando t se aproxima de 3. Aqui, precisamos ter atenção porque a definição da função muda exatamente em t=3.
Passo 9
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (t to 3^-):
Para t < 3, |t-3|t-3 = -1, então:
f(t) = -1 cdot i + t^2 i = (-1 + t^2) i
Então,
limt to 3^- f(t) = (-1 + 9) i = 8 i
Passo 10
Agora, calculamos o limite pela direita (t to 3^+):
Para t > 3, |t-3|t-3 = 1, então:
f(t) = 1 cdot i + t^2 i = (1 + t^2) i
Então,
limt to 3^+ f(t) = (1 + 9) i = 10 i
Passo 11
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (8i e 10i), o limite de f(t) quando t se aproxima de 3 não existe.
Passo 12
Agora, verificamos o valor da função em t=3, que é dado por:
f(3) = 0
Passo 13
Como o limite em t=3 não existe e o valor da função em t=3 é 0, a função f(t) não é contínua em t=3.
Resposta
O limite de f(t) em t=0 é - i e a função é contínua nesse ponto. Em t=3, o limite não existe, então a função não é contínua em t=3.