Um campo vetorial F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k é chamado de irrotacional se rot F=0. Por sua vez, F é dito incompressível se div F=0.
(a) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z)=f(x) i+g(y) j+h(z) k
com f, g, h diferenciáveis, é irrotacional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
F(x,y,z)=f(x),i+g(y),j+h(z),k
é irrotacional, ou seja, que nablatimes F=0.
Conteúdo necessário: definição do rotacional em coordenadas cartesianas e cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Pela definição em coordenadas cartesianas,
nablatimes F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial zr)i +l(partial Ppartial z-partial Rpartial xr)j +l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)k,
onde P(x,y,z)=f(x), Q(x,y,z)=g(y) e R(x,y,z)=h(z). Como
partial fpartial y =partial fpartial z =partial gpartial x =partial gpartial z =partial hpartial x =partial hpartial y=0,
cada componente do rotacional é zero:
partial Rpartial y-partial Qpartial z=0-0=0, partial Ppartial z-partial Rpartial x=0-0=0, partial Qpartial x-partial Ppartial y=0-0=0

Resposta

nablatimes F=0, logo F é irrotacional.

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