Questão
alor
pontos) Calcular a massa, centro de massa e a inércia em relação ao eixo dos.
de uma chapa delimitada por
e
, considerando a densidade igual a uma constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular três coisas para uma chapa: massa, centro de massa e a inércia em relação ao eixo dos x. A chapa está limitada pelas linhas
,
e
, e a densidade é uma constante
. Para isso, vamos usar cálculos de integrais duplas, que nos ajudam a encontrar essas propriedades em regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região da chapa. As equações que delimitam a chapa são:
Vamos desenhar essas linhas no plano cartesiano para visualizar a área:
-
é uma reta que intercepta os eixos x e y em (1,0) e (0,1), respectivamente. -
é uma reta vertical passando pelo ponto (1,0) e indo para cima. -
é uma reta horizontal passando pelo ponto (0,1) e indo para a direita.
A interseção dessas retas forma um triângulo com vértices em (1,0), (1,1) e (0,1).
Passo 3
Vamos calcular a massa da chapa. A massa (
) é dada pela integral dupla da densidade sobre a área da chapa:
Como a densidade
é constante e igual a
, podemos simplificar:
Vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos (1,0), (1,1) e (0,1). A base é 1 (de
a
) e a altura também é 1 (de
a
). A área (
) de um triângulo é:
Então, a massa é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o centro de massa (
). As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Como
, podemos simplificar:
Mas já sabemos que
, então:
Vamos parametrizar a região de integração. Observando o triângulo, para
de 0 a 1,
varia de
até 1.
Então, as integrais ficam:
Calculando
:
Calculando
:
Então, o centro de massa é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a inércia (
) em relação ao eixo dos
. A inércia é dada por:
Como
:
Usando os mesmos limites de integração:
Calculando a integral interna:
Então:
Resposta
- Massa:
- Centro de Massa:
- Inércia em relação ao eixo dos
: