4^ a Questão (V alor =2 , 5 pontos) Calcular a massa, centro de massa e a inércia em relação ao eixo dos. x de uma chapa delimitada por x+y=1, x=1 e y=1, considerando a densidade igual a uma constante k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular três coisas para uma chapa: massa, centro de massa e a inércia em relação ao eixo dos x. A chapa está limitada pelas linhas x + y = 1, x = 1 e y = 1, e a densidade é uma constante k. Para isso, vamos usar cálculos de integrais duplas, que nos ajudam a encontrar essas propriedades em regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região da chapa. As equações que delimitam a chapa são:
  1. x + y = 1
  2. x = 1
  3. y = 1
Vamos desenhar essas linhas no plano cartesiano para visualizar a área:
  • x + y = 1 é uma reta que intercepta os eixos x e y em (1,0) e (0,1), respectivamente.
  • x = 1 é uma reta vertical passando pelo ponto (1,0) e indo para cima.
  • y = 1 é uma reta horizontal passando pelo ponto (0,1) e indo para a direita.
A interseção dessas retas forma um triângulo com vértices em (1,0), (1,1) e (0,1).

Passo 3

Vamos calcular a massa da chapa. A massa ( M) é dada pela integral dupla da densidade sobre a área da chapa:
M = integral duplalimitsA rho , dA
Como a densidade rho é constante e igual a k, podemos simplificar:
M = k cdot Área da chapa Á
Vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos (1,0), (1,1) e (0,1). A base é 1 (de x = 0 a x = 1) e a altura também é 1 (de y = 0 a y =1). A área ( A) de um triângulo é:
A = base cdot a<ura2 = 1 cdot 12 = 12
Então, a massa é:
M = k cdot 12 = k2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o centro de massa ( barx, bary). As coordenadas do centro de massa são dadas por:
barx = 1M integral duplalimitsA x rho , dA
bary = 1M integral duplalimitsA y rho , dA
Como rho = k, podemos simplificar:
barx = kM integral duplalimitsA x , dA
bary = kM integral duplalimitsA y , dA
Mas já sabemos que M = k2, então:
barx = kk2 integral duplalimitsA x , dA = 2 integral duplalimitsA x , dA
bary = 2 integral duplalimitsA y , dA
Vamos parametrizar a região de integração. Observando o triângulo, para x de 0 a 1, y varia de 1 - x até 1.
Então, as integrais ficam:
barx = 2 integral0^1 integral1 - x^1 x , dy , dx
bary = 2 integral0^1 integral1 - x^1 y , dy , dx
Calculando barx:
barx = 2 integral0^1 x [y]1 - x^1 dx = 2 integral0^1 x (1 - (1 - x)) dx = 2 integral0^1 x cdot x , dx = 2 integral0^1 x^2 , dx = 2 [ x^33 ]0^1 = 2 cdot 13 = 23
Calculando bary:
bary = 2 integral0^1 integral1 - x^1 y , dy , dx = 2 integral0^1 [ y^22 ]1 - x^1 dx = 2 integral0^1 ( 12 - (1 - x)^22 ) dx
= 2 cdot 12 integral0^1 ( 1 - (1 - 2x + x^2) ) dx = integral0^1 (2x - x^2) dx
= [ x^2 - x^33 ]0^1 = (1 - 13) = 23
Então, o centro de massa é ( 23, 23 ).

Passo 5

Agora, vamos calcular a inércia ( Ix) em relação ao eixo dos x. A inércia é dada por:
Ix = integral duplalimitsA y^2 rho , dA
Como rho = k:
Ix = k integral duplalimitsA y^2 , dA
Usando os mesmos limites de integração:
Ix = k integral0^1 integral1 - x^1 y^2 , dy , dx
Calculando a integral interna:
integral1 - x^1 y^2 , dy = [ y^33 ]1 - x^1 = 13 - (1 - x)^33
Então:
Ix = k3 integral0^1 (1 - (1 - x)^3 ) dx = k3 integral0^1 ( 1 - (1 - 3x + 3x^2 - x^3) ) dx
= k3 integral0^1 (3x - 3x^2 + x^3) dx = k3 [ 3x^22 - x^3 + x^44 ]0^1
= k3 ( 32 - 1 + 14 ) = k3 ( 32 - 44 + 14 ) = k3 ( 32 - 34 )
= k3 cdot 34 = k4

Resposta

  • Massa: M = k2
  • Centro de Massa: ( 23, 23 )
  • Inércia em relação ao eixo dos x: Ix = k4

Exercícios relacionados