Sejam f(t)=a t+b t^2 e g(t)=t i+sin (t) j++cos (t) k, com a=i+j e b=i-j, 0 <= t <= 2 pi. Calcular:
f(t) times g(t)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e o que a gente vai precisar. A gente tem duas funções vetoriais:
f(t) = a t + b t^2
g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k
Sabendo que:
a = i + j
b = i - j
Queremos calcular o produto vetorial f(t) times g(t) para 0 <= t <= 2pi.
Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial de dois vetores e aplicar isso nas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de a e b na função f(t):
f(t) = (i + j) t + (i - j) t^2
Vamos distribuir os termos:
f(t) = i t + j t + i t^2 - j t^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
f(t) = i(t + t^2) + j(t - t^2)

Passo 3

Agora que temos f(t) e g(t) expressos em termos de i, j e k, vamos escrever os componentes de cada vetor:
f(t) = (t + t^2) i + (t - t^2) j + 0 k
g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial f(t) times g(t). Lembrando que o produto vetorial de dois vetores A = Ax i + Ay j + Az k e B = Bx i + By j + Bz k é dado por:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Vamos aplicar isso para f(t) e g(t):
f(t) times g(t) = i & j & k t + t^2 & t - t^2 & 0 t & sin(t) & cos(t)

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
  • Componente i:
i ( (t - t^2) cos(t) - 0 cdot sin(t) ) = i (t - t^2) cos(t)
  • Componente -j:
-j ( (t + t^2) cos(t) - 0 cdot t ) = -j (t + t^2) cos(t)
  • Componente k:
k ( (t + t^2) sin(t) - (t - t^2) t ) = k ( t sin(t) + t^2 sin(t) - t^2 + t^3 )

Passo 6

Agora, juntando tudo:
f(t) times g(t) = i (t - t^2) cos(t) - j (t + t^2) cos(t) + k (t sin(t) + t^2 sin(t) - t^2 + t^3)
Podemos simplificar os termos:
f(t) times g(t) = (t - t^2) cos(t) i - (t + t^2) cos(t) j + (t + t^2) sin(t) - t^2 + t^3) k

Resposta

O produto vetorial f(t) times g(t) é dado por:
f(t) times g(t) = (t - t^2) cos(t) i - (t + t^2) cos(t) j + (t + t^2) sin(t) - t^2 + t^3 k

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