Sejam f(t)=a t+b t^2 e g(t)=t i+sin (t) j++cos (t) k, com a=i+j e b=i-j, 0 <= t <= 2 pi. Calcular:
f(t-1)+g(t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, f(t) e g(t), e precisamos calcular f(t-1) + g(t-1). Isso envolve trabalhar com vetores, polinômios e funções trigonométricas. Vamos precisar substituir t-1 nas duas funções e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada função representa. A função f(t) é dada por:
f(t) = a cdot t + b cdot t^2
onde a = i + j e b = i - j.
A função g(t) é:
g(t) = t,i + sin(t),j + cos(t),k

Passo 3

Agora, vamos substituir t-1 nas duas funções.
Para f(t-1):
f(t-1) = a cdot (t-1) + b cdot (t-1)^2
Substituindo a e b:
f(t-1) = (i + j) cdot (t-1) + (i - j) cdot (t-1)^2
Para g(t-1):
g(t-1) = (t-1),i + sin(t-1),j + cos(t-1),k

Passo 4

Vamos agora expandir f(t-1):
f(t-1) = i(t-1) + j(t-1) + i(t-1)^2 - j(t-1)^2
Simplificando os termos:
f(t-1) = i[(t-1) + (t-1)^2] + j[(t-1) - (t-1)^2]

Passo 5

Agora, somamos f(t-1) e g(t-1):
f(t-1) + g(t-1) = i[(t-1) + (t-1)^2 + (t-1)] + j[(t-1) - (t-1)^2 + sin(t-1)] + kcos(t-1)
Simplificando os coeficientes de i e j:
f(t-1) + g(t-1) = i[2(t-1) + (t-1)^2] + j[(t-1) - (t-1)^2 + sin(t-1)] + kcos(t-1)

Resposta

A soma das funções vetoriais é:
f(t-1) + g(t-1) = [2(t-1) + (t-1)^2],i + [(t-1) - (t-1)^2 + sin(t-1)],j + cos(t-1),k

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