Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite da sequência
. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências, funções trigonométricas e a função arco-tangente (ou
). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função
. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de
. Isso porque:
Então, podemos reescrever a sequência
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, observamos o termo
. Essa é uma potência de base 2 elevada a
, o que significa que:
Conforme
aumenta,
cresce muito rapidamente, fazendo com que
se aproxime de 0. Ou seja:
Passo 4
Considerando que
alterna entre 1 e -1, multiplicado por
, o termo completo dentro da
fica cada vez menor em magnitude, aproximando-se de 0:
Passo 5
Agora, sabemos que a função
é contínua em todo o seu domínio e que:
Portanto, aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
O limite da sequência
é 0.