Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
an=t g^-1(2^-n cos (n pi)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite da sequência an = tan^-1(2^-n cos(n pi)) . Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências, funções trigonométricas e a função arco-tangente (ou tan^-1). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função tan^-1. Sabemos que cos(n pi) alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de n . Isso porque:
cos(n pi) = (-1)^n
Então, podemos reescrever a sequência an da seguinte forma:
an = tan^-1(2^-n cdot (-1)^n)

Passo 3

Agora, observamos o termo 2^-n. Essa é uma potência de base 2 elevada a -n, o que significa que:
2^-n = 12^n
Conforme n aumenta, 2^n cresce muito rapidamente, fazendo com que 2^-n se aproxime de 0. Ou seja:
limn to infty 2^-n = 0

Passo 4

Considerando que (-1)^n alterna entre 1 e -1, multiplicado por 2^-n, o termo completo dentro da tan^-1 fica cada vez menor em magnitude, aproximando-se de 0:
limn to infty 2^-n cdot (-1)^n = 0

Passo 5

Agora, sabemos que a função tan^-1(x) é contínua em todo o seu domínio e que:
limx to 0 tan^-1(x) = 0
Portanto, aplicando isso ao nosso caso:
limn to infty tan^-1(2^-n cdot (-1)^n) = tan^-1(0) = 0

Resposta

O limite da sequência an = tan^-1(2^-n cos(n pi)) é 0.

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