Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
an=n sen(pi2 n).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência an = n cdot sin(pi2n) . Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e o comportamento do seno quando seu argumento se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o termo dentro do seno quando n cresce. Observe que:
pi2n 0 quando n infty
Então, estamos analisando o seno de um número que está ficando cada vez menor, próximo de zero.

Passo 3

Sabemos que, para valores muito pequenos de x , a função seno pode ser aproximada por:
sin(x) approx x
Essa é uma boa aproximação quando x se aproxima de zero. Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde x = pi2n :
sin(pi2n) approx pi2n

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão da sequência, temos:
an approx n cdot pi2n
Os termos n no numerador e no denominador se cancelam:
an approx pi2

Passo 5

Como essa aproximação fica cada vez mais precisa conforme n aumenta, podemos concluir que o limite da sequência é:
limn to infty an = pi2

Resposta

O limite da sequência an = n cdot sin(pi2n) é pi2 .

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