Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência
. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e o comportamento do seno quando seu argumento se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o termo dentro do seno quando
cresce. Observe que:
Então, estamos analisando o seno de um número que está ficando cada vez menor, próximo de zero.
Passo 3
Sabemos que, para valores muito pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por:
Essa é uma boa aproximação quando
se aproxima de zero. Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão da sequência, temos:
Os termos
no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 5
Como essa aproximação fica cada vez mais precisa conforme
aumenta, podemos concluir que o limite da sequência é:
Resposta
O limite da sequência
é
.