Determine se f(x, y) é contínua no ponto (0,0) se
& f(x, y)=3 x^2 y & x^2+y^2 ;(x, y) neq(0,0) & f(x, y)=0 ;(x, y)=(0,0) (Sol f(x, y) é contínua) Derivadas parciais éí

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= 3x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[1em] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede (i) verificar se f é contínua em (0,0) e (ii) calcular as derivadas parciais em (0,0). Os conteúdos que vamos usar são definição de limite em R^2, continuidade e definição de derivada parcial via quociente incremental.]

Passo 2

Para ver se f é contínua em (0,0) precisamos checar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, para (x,y)neq(0,0) temos
f(rcostheta,rsintheta) =3,(rcostheta)^2,(rsintheta)r^2 =3rcos^2thetasintheta
Como |cos^2thetasintheta|<=1,
l|f(rcostheta,rsintheta)r|<=3re, ao fazer rto0,;3rto0
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lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Passo 3

A derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0,
pois f(h,0)=3h^2cdot0/(h^2+0)=0. Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
fy(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h =0,
pois f(0,h)=3cdot0cdot h/(0+h^2)=0.

Resposta

f é contínua em (0,0) e
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

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