Mostre que lim (x, y) (1,2)(3 x+2 y)=7

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(1,2)l(3x+2yr)=7
O conteúdo aqui é o conceito de limite de função de duas variáveis e a técnica epsilon-delta. Como 3x+2y é uma função linear (logo contínua), devemos provar rigorosamente pela definição de limite em R^2.

Passo 2

Defina
f(x,y)=3x+2y,
então f(1,2)=3cdot1+2cdot2=7. Pela definição de limite, dado epsilon>0 precisamos achar de<a>0 tal que, sempre que
0<raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a,
tenha-se l|f(x,y)-7r|<epsilon.

Passo 3

Calcule o desvio:
l|f(x,y)-7r| =l|3(x-1)+2(y-2)r| <=3|x-1|+2|y-2|
Como
|x-1|<=raiz(x-1)^2+(y-2)^2, |y-2|<=raiz(x-1)^2+(y-2)^2,
segue
3|x-1|+2|y-2|<=(3+2)raiz(x-1)^2+(y-2)^2 =5raiz(x-1)^2+(y-2)^2

Passo 4

Escolha
de<a=epsilon5
Então, se 0<raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a, obtemos
l|f(x,y)-7r|<=5,raiz(x-1)^2+(y-2)^2<5de<a=5cdotepsilon5=epsilon
Isso prova que
lim(x,y)to(1,2)(3x+2y)=7

Resposta

7

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