Use o teorema do confronto para calcular lim n infty (-1)^n 2^nn^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim n infty (-1)^n 2^nn^n. Esse exercício está na área de limites de sequências e usa o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. Vamos precisar entender esse teorema e como aplicá-lo para resolver o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão (-1)^n 2^nn^n. O (-1)^n faz com que o sinal do termo alterne entre positivo e negativo conforme n aumenta. No entanto, para calcular o limite, nos interessa o comportamento absoluto dessa expressão, ou seja, | (-1)^n 2^nn^n | = 2^nn^n.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema do Confronto. Esse teorema nos diz que se uma sequência está “presa” entre duas outras sequências que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Precisamos encontrar duas sequências que sejam menores e maiores que 2^nn^n e que ambas tenham um limite conhecido.

Passo 4

Observamos que 2^nn^n é sempre positiva, pois 2^n e n^n são positivos para todo n. Além disso, sabemos que n^n cresce muito mais rápido que 2^n quando n vai para o infinito. Então, podemos dizer que 2^nn^n fica cada vez menor.

Passo 5

Vamos definir duas sequências para aplicar o Teorema do Confronto:
  • Sequência inferior: 0.
  • Sequência superior: 2^nn^n.
Sabemos que 0 <= 2^nn^n para todo n.

Passo 6

Agora, calculamos os limites das sequências inferior e superior:
  • lim n infty 0 = 0.
  • lim n infty 2^nn^n = 0, já que n^n cresce muito mais rápido que 2^n.

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, já que 0 <= 2^nn^n <= 2^nn^n e ambos os limites laterais são 0, concluímos que:
lim n infty 2^nn^n = 0

Resposta

Portanto, lim n infty (-1)^n 2^nn^n = 0.

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