Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na área de limites de sequências e usa o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze. Vamos precisar entender esse teorema e como aplicá-lo para resolver o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão . O faz com que o sinal do termo alterne entre positivo e negativo conforme aumenta. No entanto, para calcular o limite, nos interessa o comportamento absoluto dessa expressão, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema do Confronto. Esse teorema nos diz que se uma sequência está “presa” entre duas outras sequências que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Precisamos encontrar duas sequências que sejam menores e maiores que 2^nn^n e que ambas tenham um limite conhecido.
Passo 4
Observamos que 2^nn^n é sempre positiva, pois 2^n e n^n são positivos para todo n. Além disso, sabemos que n^n cresce muito mais rápido que 2^n quando n vai para o infinito. Então, podemos dizer que 2^nn^n fica cada vez menor.
Passo 5
Vamos definir duas sequências para aplicar o Teorema do Confronto:
Sequência inferior: 0.
Sequência superior: 2^nn^n.
Sabemos que 0 <= 2^nn^n para todo n.
Passo 6
Agora, calculamos os limites das sequências inferior e superior:
lim n infty 0 = 0.
lim n infty 2^nn^n = 0, já que n^n cresce muito mais rápido que 2^n.
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, já que 0 <= 2^nn^n <= 2^nn^n e ambos os limites laterais são 0, concluímos que: