Esboce a curva dada por equações paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para desenhar uma curva definida por equações paramétricas e depois transformar essas equações em uma forma cartesiana. As equações que temos são:
Vamos usar trigonometria e álgebra para eliminar o parâmetro
e encontrar a relação direta entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter
e
definidos em termos de
. Essas são chamadas de equações paramétricas, onde
é o parâmetro que varia e descreve a posição na curva. Nosso objetivo é eliminar
para ter uma única equação que relaciona
e
diretamente.
Passo 3
Vamos começar com a equação de
:
Queremos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então:
Substituindo
por
:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a equação de
:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Mas, para simplificar e eliminar a raiz, vamos isolar
diretamente:
Da equação de
:
Passo 5
Agora, lembrando novamente da identidade trigonométrica:
Sabemos que
e
. Substituindo na identidade:
Resposta
A equação cartesiana da curva é: