Esboce a curva dada por equações paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=sen(t), y=-3+2 cos (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para desenhar uma curva definida por equações paramétricas e depois transformar essas equações em uma forma cartesiana. As equações que temos são:
x = sin(t)
y = -3 + 2cos(t)
Vamos usar trigonometria e álgebra para eliminar o parâmetro t e encontrar a relação direta entre x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter x e y definidos em termos de t . Essas são chamadas de equações paramétricas, onde t é o parâmetro que varia e descreve a posição na curva. Nosso objetivo é eliminar t para ter uma única equação que relaciona x e y diretamente.

Passo 3

Vamos começar com a equação de x :
x = sin(t)
Queremos expressar cos(t) em termos de x . Sabemos que:
sin^2(t) + cos^2(t) = 1
Então:
cos(t) = raiz1 - sin^2(t)
Substituindo sin(t) por x :
cos(t) = raiz1 - x^2

Passo 4

Agora, vamos olhar para a equação de y :
y = -3 + 2cos(t)
Substituindo cos(t) pela expressão que encontramos:
y = -3 + 2raiz1 - x^2
Mas, para simplificar e eliminar a raiz, vamos isolar cos(t) diretamente:
Da equação de y :
y = -3 + 2cos(t)
y + 3 = 2cos(t)
cos(t) = y + 32

Passo 5

Agora, lembrando novamente da identidade trigonométrica:
sin^2(t) + cos^2(t) = 1
Sabemos que x = sin(t) e cos(t) = y + 32 . Substituindo na identidade:
x^2 + (y + 32)^2 = 1

Resposta

A equação cartesiana da curva é:
x^2 + (y + 32)^2 = 1

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