Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o limite de uma sequência definida por
. Esse problema está na área de cálculo de limites e envolve entender somas de sequências e como elas se comportam conforme
cresce. Para resolver, vamos precisar usar álgebra básica e conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma mais simples. A sequência
é a soma dos termos
onde
varia de 1 até
. Isso pode ser representado pela soma:
Aqui, cada termo da soma aumenta em uma unidade no numerador enquanto o denominador permanece
.
Passo 3
Vamos calcular essa soma. Sabemos que:
Isso é uma fórmula conhecida para a soma dos primeiros
números naturais. Substituindo na nossa expressão para
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, observamos o comportamento de cada parte da fração:
Como
tende a 0 quando
cresce indefinidamente.
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.