Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
a_n = 1/n^2 + 2/n^2 + ... + n/n^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o limite de uma sequência definida por . Esse problema está na área de cálculo de limites e envolve entender somas de sequências e como elas se comportam conforme cresce. Para resolver, vamos precisar usar álgebra básica e conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma mais simples. A sequência é a soma dos termos onde varia de 1 até . Isso pode ser representado pela soma:
Aqui, cada termo da soma aumenta em uma unidade no numerador enquanto o denominador permanece .

Passo 3

Vamos calcular essa soma. Sabemos que:
Isso é uma fórmula conhecida para a soma dos primeiros números naturais. Substituindo na nossa expressão para :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
Dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 5

Para encontrar o limite de quando tende ao infinito, observamos o comportamento de cada parte da fração:
Como tende a 0 quando cresce indefinidamente.

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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