Determine o ROC de x(t) = e^(-2 t) u(t) + e^(-3 t) u(t)
Escolha uma opção:
a. Re{ s } > 2 ponto(s)
b. Re{s} > 3
c. Re(s) > -2
d. Re{ s } > -3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a Região de Convergência (ROC) da função . Isso está dentro do conteúdo de Transformada de Laplace, especificamente sobre como encontrar a ROC para funções do tipo exponencial multiplicadas pela função degrau . Para resolver isso, vamos precisar entender como a Transformada de Laplace funciona para cada termo da expressão e como determinar a ROC a partir disso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes:
Cada termo dessa soma pode ser transformado individualmente usando a Transformada de Laplace.

Passo 3

Lembre-se que a Transformada de Laplace de é dada por:
E a Região de Convergência (ROC) para essa transformada é:
Isso significa que para cada termo exponencial, a ROC é definida pela parte real de ser maior que .

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada termo da nossa função :
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Como a função é a soma de dois termos, a ROC geral será a interseção das ROC individuais de cada termo. Ou seja, precisamos encontrar a região onde ambas as condições de ROC são satisfeitas simultaneamente.

Passo 6

As duas condições de ROC são:
A interseção dessas duas regiões é simplesmente a condição mais restritiva, que neste caso é:

Resposta

A Região de Convergência (ROC) de é .
Opção c.

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