Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty ne^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar: sumn=1^infty ne^n. A tarefa é usar o Teste da Integral para descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Integral é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. A ideia é comparar a série com uma integral. Se a integral de uma função relacionada à série converge, a série também converge, e vice-versa.

Passo 3

Vamos associar a nossa série a uma função contínua, positiva e decrescente. No caso, a função correspondente é f(x) = xe^x. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Teste da Integral:
  1. Continuidade: f(x) é contínua para x >= 1.
  2. Positividade: f(x) > 0 para todo x >= 1.
  3. Decrescente: A derivada de f(x) deve ser negativa para x >= 1.

Passo 4

Vamos conferir se f(x) é decrescente. Calculamos a derivada:
f'(x) = ddx(xe^x) = e^x cdot 1 - x cdot e^x(e^x)^2 = e^x(1 - x)e^2x = 1 - xe^x
Para x >= 1, 1 - x é negativo, e e^x é sempre positivo. Então, f'(x) < 0, o que significa que f(x) é de fato decrescente.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de f(x) de 1 até o infinito:
integral1^infty xe^x dx
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir:
  • u = x du = dx
  • dv = e^-x dx v = -e^-x
Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C
Agora, avaliamos de 1 até o infinito:
limb to infty [-x e^-x - e^-x]1^b
À medida que x tende ao infinito, x e^-x e e^-x tendem a 0. Então:
0 - [ -1 cdot e^-1 - e^-1 ] = 0 - (-2 e^-1) = 2 e^-1
Como a integral resulta em um valor finito ( 2/e), ela converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ne^n é convergente pelo Teste da Integral.

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