Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
. A tarefa é usar o Teste da Integral para descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Integral é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. A ideia é comparar a série com uma integral. Se a integral de uma função relacionada à série converge, a série também converge, e vice-versa.
Passo 3
Vamos associar a nossa série a uma função contínua, positiva e decrescente. No caso, a função correspondente é
. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Teste da Integral:
- Continuidade:
é contínua para . - Positividade:
para todo . - Decrescente: A derivada de
deve ser negativa para .
Passo 4
Vamos conferir se
é decrescente. Calculamos a derivada:
Para
,
é negativo, e
é sempre positivo. Então,
, o que significa que
é de fato decrescente.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de
de 1 até o infinito:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de 1 até o infinito:
À medida que
tende ao infinito,
e
tendem a 0. Então:
Como a integral resulta em um valor finito (
), ela converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Integral.