Calcule as seguintes integrais:
b)(1,5 ponto) integral sen(x) cos (x)cos ^3(x)+1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando substituição. Para resolver, precisaremos identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, observe que o numerador da fração é e o denominador é . Vamos tentar simplificar a expressão usando uma substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = cos^3(x) + 1 igual ao denominador:
dudx = 3cos^2(x)(- sen(x)) = -3cos^2(x) sen(x)
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Notamos que no numerador temos , que está relacionado com sen(x) cos(x) dx = -13 du . Podemos rearranjar a derivada para expressar :

Passo 5

Substituindo na integral original:

Passo 6

A integral de -13 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :

Passo 7

Finalmente, substituímos -13 ln|cos^3(x) + 1| + C pela expressão original:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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