Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o problema de calcular o limite da sequência
. Isso envolve conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tirar o logaritmo né, porque quando temos uma potência com um expoente que depende de
, usar logaritmo ajuda a simplificar. Então, vamos aplicar o logaritmo natural (
) nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos focar em encontrar o limite de
quando
tende ao infinito:
Observa que, para
muito grande,
é aproximadamente
. Então, podemos simplificar:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos encontrar o limite de
elevando o resultado ao exponencial: