Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
a_n = (1 + 3 n)^(1/n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o problema de calcular o limite da sequência . Isso envolve conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar o logaritmo né, porque quando temos uma potência com um expoente que depende de , usar logaritmo ajuda a simplificar. Então, vamos aplicar o logaritmo natural ( ) nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos focar em encontrar o limite de quando tende ao infinito:
Observa que, para muito grande, é aproximadamente . Então, podemos simplificar:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Sabemos que e . Então:

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos encontrar o limite de elevando o resultado ao exponencial:

Resposta

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