Encontre o comprimento de arco da curva
para
com
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação
e precisamos encontrar o comprimento do arco dessa curva no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
em função de
a partir da equação dada. Vamos isolar
:
Agora temos
, que vamos usar para calcular a derivada necessária para o comprimento do arco.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar a função que encontramos:
Agora, derivando termo a termo:
Passo 4
Com a derivada
encontrada, podemos usar a fórmula do comprimento de arco:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Então, a expressão sob a raiz na integral fica:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 6
Agora substituímos de volta na integral para encontrar
:
Calculando a integral:
Simplificando:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
.