Encontre o comprimento de arco da curva 6 a^2 x y = x^4 + 3 a^4 para a <= x <= 3 a com a > vazio.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação e precisamos encontrar o comprimento do arco dessa curva no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar em função de a partir da equação dada. Vamos isolar :
Agora temos , que vamos usar para calcular a derivada necessária para o comprimento do arco.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos derivar a função que encontramos:
Agora, derivando termo a termo:

Passo 4

Com a derivada encontrada, podemos usar a fórmula do comprimento de arco:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular :
Então, a expressão sob a raiz na integral fica:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 6

Agora substituímos de volta na integral para encontrar :
Calculando a integral:
Simplificando:

Resposta

O comprimento do arco da curva é .

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