Calcule o limite de cada sequência abaixo pelo seu termo geral

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o limite da sequência an = (1 + 13n)^n quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é limite de sequências com expressão exponencial. Vamos usar a técnica de aplicar logaritmo para estudar o comportamento.

Passo 2

Definindo an = (1 + 13n)^n, consideramos o logaritmo natural: ln an = n ln!(1 + 13n). Isso transforma a potência em produto, facilitando a análise.

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor para o logaritmo: ln(1+x) = x - x^22 + o(x^2) quando xto 0. Aqui x = 13n, então:
ln an = nl(13n - 12l(13nr)^2 + ol(1n^2r)r) = 13 - 118n + ol(1nr)
Dessa forma, ln an to 13.

Passo 4

Como o logaritmo converge para 13, aplicamos a função exponencial e concluímos que an converge para e^1/3.

Resposta

e^1/3

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