1. Encontre o volume do cilíndro com base de raio 2, centrado em P(0,1,0), com z >= 0, que é cortado pelo plano z+y=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao cortar verticalmente por um plano o cilindro de base circular de raio 2 centrado em P(0,1,0), com a parte para z≥0. O tema aqui é cálculo de volume por integral dupla, onde vamos projetar o sólido no plano xy e integrar a altura definida por z+y=4.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) na projeção D no plano xy, a altura do sólido vai de z=0 até o plano z=4−y. Assim, o volume é dado por V=integral duplaD (4-y),dA

Passo 3

A região D é o disco de raio 2 centrado em (0,1), ou seja D:;(x-0)^2+(y-1)^2<=4 Note que para todo (x,y) em D temos y≤1+2=3<4, então a expressão 4−y é sempre positiva.

Passo 4

Para computar integral duplaD(4-y),dA, separamos em duas integrais: integral duplaD4,dA=4,Area(D)=4cdot4pi=16pi, e integral duplaD y,dA Como o disco está centrado em y=1, o valor médio de y em D é 1. Logo integral duplaD y,dA=1cdotArea(D)=4pi

Passo 5

Substituindo, o volume fica V=16pi-4pi=12pi

Resposta

12\pi

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