- Encontre o volume do cilíndro com base de raio 2, centrado em
, com
, que é cortado pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao cortar verticalmente por um plano o cilindro de base circular de raio 2 centrado em P(0,1,0), com a parte para z≥0. O tema aqui é cálculo de volume por integral dupla, onde vamos projetar o sólido no plano xy e integrar a altura definida por z+y=4.
Passo 2
Para cada ponto (x,y) na projeção D no plano xy, a altura do sólido vai de z=0 até o plano z=4−y. Assim, o volume é dado por
Passo 3
A região D é o disco de raio 2 centrado em (0,1), ou seja
Note que para todo (x,y) em D temos y≤1+2=3<4, então a expressão 4−y é sempre positiva.
Passo 4
Para computar
, separamos em duas integrais:
e
Como o disco está centrado em y=1, o valor médio de y em D é 1. Logo
Passo 5
Substituindo, o volume fica
Resposta
12\pi