Estudar as funções seguintes (dominio, paridade, variações (crescente/decrescente), limitada por cima/baixo) :

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função f4(x)=x^2+x+2, incluindo domínio, paridade, intervalos de crescimento/decrescimento e limitações de valores. Vamos usar conceitos de polinômio (domínio), teste de paridade e derivada para monotonicidade.

Passo 2

Como f4(x) é um polinômio de segundo grau, seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
Dom(f4)=R

Passo 3

Para testar paridade, calculamos
f4(-x)=(-x)^2+(-x)+2=x^2-x+2
Como f4(-x)neq f4(x) e f4(-x)neq -f4(x), a função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Para estudar variações, obtém-se a derivada:
f'4(x)=2x+1
Resolvendo f'4(x)=0 temos x=-tfrac12. Em seguida analisamos o sinal de f'4(x):
- Para x<-tfrac12, 2x+1<0 logo f'4(x)<0 (função decrescente).
- Para x>-tfrac12, 2x+1>0 logo f'4(x)>0 (função crescente).

Passo 5

No ponto crítico x=-tfrac12 calculamos o valor da função:
f4l(-tfrac12r)=l(-tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)+2=tfrac14-tfrac12+2=tfrac74
Como f4(x)to+infty quando xtopminfty, esse valor é um mínimo global, não há máximo.

Passo 6

Concluímos que a função é limitada inferiormente por tfrac74, não tem limite superior, e atende ao estudo pedido.

Resposta

Domínio: R.
Paridade: não é par nem ímpar.
Variações: decrescente em ( -infty,-tfrac12 ) e crescente em ( -tfrac12,infty ).
Extremo: mínimo global em x=-tfrac12 com valor f4(-tfrac12)=tfrac74.
Limites de valores: f4(x)>=tfrac74, não é limitada superiormente.

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