Calcule o limite de cada sequência dada abaixo pelo seu termo geral:
raizn!+e^2 n5 raizn!-e^n

Passo 1

O problema pede
limntoinfty an,onde an = raizn! + e^2n5raizn! - e^n
O conteúdo principal é comparar o crescimento de raizn! com o de exponenciais e^kn. Para isso podemos usar um fator comum ou a fórmula de Stirling.

Passo 2

Fatoramos raizn! do numerador e do denominador:
an = raizn!l(1 + e^2nraizn!r)% raizn!l(5 - e^nraizn!r) = 1 + dfrace^2nraizn!5 - dfrace^nraizn!

Passo 3

Mostramos que
e^knraizn!;longrightarrow;0 para qualquer constante k
Usando Stirling,
n! sim raiz2pi n,l(ner)^n, logo raizn!sim (2pi n)^1/4,l(ner)^n/2
Tomando o logaritmo, por exemplo, de dfrace^2nraizn! temos
ln!l(e^2nraizn!r) =2n - n2(ln n -1) + O(ln n),
e como tfracn2ln n cresce mais rápido que 2n, isso tende a -infty. Logo
e^2nraizn!to0 e e^nraizn!to0

Passo 4

Voltando a an, temos
an = 1 + o(1)5 - o(1) ;xrightarrow[ntoinfty]; 15

Resposta

boxed15

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